Question

Dada una hoja cuadrada de lado de longitud 48 cm, se desea construir con ella una caja sin tapa, cortando en sus esquinas cuadrados iguales y doblando convenientemente la parte restante. Determinar la longitud del lado de los cuadrados que deben ser cortados de modo que el volumen de la caja sea el mayor posible y además halle el volumen de la caja.

Answer 1

Respuesta:

V= 13.824 cm³

Explicación paso a paso:

Ver archivo anexo

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Answer 2

La longitud del lado de los cuadrados que deben ser recortados para que la caja tenga el mayor volumen posible es:

8 cm

El volumen máximo que puede tener la caja es:

8192 cm³

¿Qué es una ecuación?

Una ecuación es una expresión algebraica que consta de letras y números dependiendo del grado de dicha ecuación. Donde la ecuación describe un problema relacionando las variables con las constantes.

¿Cómo se calcula el volumen de un prisma?

Un prisma es un poliedro de seis caras incluidas la base y tapa.

El volumen es el producto del área de la base por la altura.

V = Ab × a

Siendo;

• Ab: área de la base
• a: altura

¿Cómo obtener máximos y mínimos?

Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.

Criterio de la segunda derivada:

• Si la segunda derivada es positiva, se está hablando de un mínimo relativo.
• Si la segunda derivada es negativa se está hablando de un máximo relativo.

¿Cuál es la longitud del lado de los cuadrados que deben ser cortados de modo que el volumen de la caja sea el mayor posible y además halle el volumen de la caja?

Definir las dimensiones de la casa:

• x: lados de cuadrado a  recortar

Ecuación

V = (48 - 2x)²(x)

V = (2304 - 192x + 4x²)(x)

V = 2304x - 192x² + 4x³

Aplicar primera derivada;

V' = d/dx (2304x - 192x² + 4x³)

V' = 2304 - 384x + 12x²

Aplicar segunda derivada;

V'' = d/dx (2304 - 384x + 12x²)

V'' = -384 + 24x  

Igualar V' a cero;

12x² - 384x + 2304 = 0

Aplicar la resolvente;

$x_{1,2}=\frac{384\pm\sqrt{384^{2}-4(12)(2304)}}{2(12)}\\\\x_{1,2}=\frac{384\pm\sqrt{36864}}{24}\\\\x_{1,2}=\frac{384\pm192}{24}$

x₁ = 24 cm

x₂ = 8 cm

Sustituir en V;

Vmax = 2304(8) - 192(8)² + 4(8)³

Vmax = 8192 cm³

Puedes ver más sobre ecuaciones y optimización aquí:

https://brainly.lat/tarea/58591707

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