Question

Problema de Variable Compleja:

Demostrar la siguiente desigualdad.

√2║z║≥ ║Re(z)║+║Im(z)║

El modulo de un numero complejo multiplicado por raiz de dos es mayor o igual a la suma de los modulos de su parte real e imaginaria, donde $z=(x+iy)$ y $Re(z)=x$ ∧ $Im(z)=y$ y por definición el modulo de z es: $\sqrt{ x^{2} + y^{2} }$

Answer 1

en otras palabras piden demostrar $\sqrt{2}\cdot\sqrt{x^2+y^2}\geq |x|+|y|$

Se sabe que $(|x|-|y|)^2\geq 0$ entonces
 
              $x^2-2|x||y|+y^2\geq 0\\ \\ x^2+y^2\geq 2|x||y|\\ \\ 2(x^2+y^2)\geq x^2+y^2+2|x||y|\\ \\ 2(x^2+y^2)\geq (|x|+|y|)^2\\ \\ \sqrt{2(x^2+y^2)}\geq |x|+|y|$

Con lo cual termina la prueba.