Question

Resolver la integral indefinida por medio de sustituciones trigonométricas$\int\( \frac{(16-9x^2)^ \frac{3}{2} }{x^{6} } dx$

Answer 1

$\int \frac{\left(16-9x^2\right)\frac{3}{2}}{x^6}dx$
Sacamos la constante:
$=\frac{3}{2}\int \frac{16-9x^2}{x^6}dx$
Aplicamos la regla de la suma:
$=\frac{3}{2}\left(\int \frac{16}{x^6}dx-\int \frac{9x^2}{x^6}dx\right)$
Tomamos:
$\int \frac{16}{x^6}dx$
Sacamos la constante:
$=16\int \frac{1}{x^6}dx$
Usamos una propiedad de exponentes:
$=16\int \:x^{-6}dx$
Aplicamos la regla de la potencia:
$=16\frac{x^{-6+1}}{-6+1}$
Simplificamos:
$=-\frac{16}{5x^5}$
Realizamos el mismo proceso para:
$\int \frac{9x^2}{x^6}dx$
Nos queda que:
$=-\frac{3}{x^3}$
Juntamos:
$=\frac{3}{2}\left(-\frac{16}{5x^5}-\left(-\frac{3}{x^3}\right)\right)$
Simplificamos:
$=\frac{3}{2}\left(\frac{3}{x^3}-\frac{16}{5x^5}\right)$
Y finalmente agregamos una constante:
$=\frac{3}{2}\left(\frac{3}{x^3}-\frac{16}{5x^5}\right)+C$