De acuerdo al modelo de Niels Bohr se libera más energía cuando un electrón en un átomo cae de n = 4 a n = 2 o cuando el salto es de n = 5 a n = 3. Siendo (n) el número del nivel. Explique.
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La ecuación (4), deducida en el libro de Tipler (1978), establece una relación entre un par de variables: v y r. Si una de ellas es conocida, la otra puede ser determinada. En los casos macroscópicos, como el gravitatorio y de fuerza electrostática, no existe límite para escoger ese par de valores y el número de soluciones es infinito. En el caso del átomo de hidrógeno, Bohr impuso una condición restrictiva basada en las ideas de Plank y enunció sus dos famosos postulados (figura 1).
Primer postulado de Bohr
Los electrones del átomo sólo pueden encontrarse en determinados orbitales para los que el momento angular es un múltiplo entero de h/2ð, siendo h la constante de Plank (Bohr, 1913).
Esto significaba que el electrón no puede tener cualquier velocidad, y por lo tanto no puede ocupar cualquier orbital. Solamente podría ocupar aquellos orbitales cuyas velocidades cumplen la relación (1.15), donde n es siempre un número entero positivo (n= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 etc) (figura 2).
Despejando el valor del radio de la órbita del electrón en el primer postulado de Bohr (1913), ecuación 5, tenemos:
Al escribir la ley de Coulomb, para facilitar el raciocinio, omitimos la constante 1/4πεo. Cuando se introduce en la ecuación (8), el valor correcto de la velocidad debe ser:
En la ecuación de arriba, εo, h, π, m, y e son constantes, y sólo n es un número entero que varía de 1 a ∞. Hay que tener en cuenta, por tanto que el primer postulado fija los posibles orbitales. El primero tiene radio r, obtenido mediante la ecuación (10) cuando n = 1; el segundo r2 para n = 2; el tercero r3 para n = 3 y así sucesivamente.
Ahora se puede calcular la energía total En del electrón orbital. Según el concepto clásico, la energía total de una partícula es la suma de su energía cinética más su energía potencial.
En =Ec + Ep
Calculemos Ec y Ep
La ecuación de equilibrio de las fuerzas electrostática y centrípeta, debe ser escrita correctamente de la siguiente forma:
y como Ec = mv2/2, obtenemos:
Por otro lado, la energía potencial según el concepto clásico, es igual al producto de las cargas por el inverso de la distancia:
Sumando (12) y (13), se obtiene la energía total En:
y como ya conocemos el valor de r (eq.10), tenemos:
Igualmente, el electrón de cada orbital tiene un valor distinto de energía total, que depende de n. En las ecuaciones (10) y (15) se observa que cuando n = ∞ entonces En = 0, es decir, el electrón se encuentra tan lejos del núcleo (electrón libre) que su energía es considerada nula. Cuanto menor sea n, menor es el radio, el electrón se encuentra más cerca del núcleo y su energía es más negativa.
Con el fin de explicar las líneas espectrales emitidas por el hidrógeno, Bohr enunció su segundo postulado
donde Ei es la energía del electrón en la órbita ni, y Ef es la energía del electrón en el orbital nf. La ecuación (15) nos enseña cómo calcular la energía de un electrón del hidrógeno, en una órbita n. Por lo tanto, sabemos calcular la diferencia de energía entre esas dos órbitas ni y n
Una vez obtenida la ecuación (19), Bohr puede dar una explicación para las líneas espectrales del hidrógeno, así como comprobar la fórmula empírica de Rydberg-Balmer y el valor de la constante R.
En su teoría Bohr explica el comportamiento de un electrón del átomo de hidrógeno, en órbita circular fija. Más tarde, en 1915, el propio Bohr y Sommerfeld admitieron la existencia de orbitales elípticos, donde el núcleo del átomo ocupa uno de los focos. Con el concepto de orbitales elípticos, se podría concluir que puede existir varios conjuntos de orbitales con momentos angulares diferentes, pero con la misma energía.
Esto obligó a introducir otro número cuántico (l), el orbital. Finalmente en 1925, fue introducido el cuarto número cuántico, spin (s), para indicar el sentido de rotación del electrón sobre su propio eje. Por lo tanto, el estado energético de un electrón orbital está caracterizado por un conjunto de números cuánticos (n, l, m, s).