calcular los lados de un triángulo rectángulo, sabiendo que forman una p.a cuya diferencia es 21
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Respuesta:
El problema de los tres términos
Calcula tres términos de una P.A tales que su suma sea 27 y su producto 693
El truco consiste en decir que el término central es “a” y la diferencia “d”. De este modo la sucesión queda así: a-d, a, a+d
Teniendo en cuenta la primera condición; a-d+a+a+d=27 .Por lo que 3a= 27 \rightarrow a=9.
La segunda condicón da lugar a la ecuación: (a-d) \cdot a \cdot (a+d)= 693
Sustituyendo a=9 queda:
(9-d) 9(9+d)=693
(9-d)(9+d)=77
81-d^2=77
d^2=4 \rightarrow d= \pm 2
La números buscados son : 7,9 ,11 ó 11,9 , 7
2)Los términos tercero y séptimo de una P.A suman 46 y la suma del segundo y el cuarto es 26. Calcula dischos términos
El enunciado da lugar al sistema:
\left. \begin{array}{rcl} a_3+a_7 = 46 \\ a_2+a_4 = 26 \end{array} \right\}.
Utilizaremos la fómula del término general (a_n=a_1+(n-1)d) para reducir las incógnitas a dos:
\left. \begin{array}{rcl} a_1+2d+a_1+6d=46 \\ a_1+d+a_1+3d=26 \end{array} \right\}.
\left. \begin{array}{rcl} 2a_1+8d=46 \\ 2a_1+4d=26 \end{array} \right\}.
Restando las dos ecuaciones queda 4d=20\rightarrow d= 5
Sustituyo en la segunda ecuación del sistema: 2a_1+20=26 \rightarrow a_1=3 y obtenmos a_1
El término general será :a_n=3+(n-1)5=5n-2
a_2= 8; a_3=13; a_4=18; y a_7=33
3) Calcula los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que sus medidas, expresadas en metros, están en progresión aritmética de diferencia 3.
Los lados en P.A tendrán la forma a, a+3, a+6. Como son los lados de un trinángulo rectángulo cumplirán el teorema de Pitágoras:
(a+6)^2=(a+3)^2+a^2
a+12a+36=a^2+6a+9+a^2 \rightarrow a^2-6a-27=0.
LKasa soluciones de esta ecuación son a= 9 y a= -3. Como se trata de los lados de un triángulo (longitud siempre positiva) nos quedamos con a= 9 y los lados del triangulo medirán 9, 12, 15.
4) Halla tres números que estén en progresión aritmética y tales que, aumentados en 5, 4 y 7 unidades respectivamente, sean proporcionales a 5, 6 y 9.
Los tres números en P.A serán a, a+d, a+2d. Si los aumentamos en 5, 4 y 7 respectivamente quedan así: a+5, a+d+4, a+2d+7.
Si establecemos la proporcionalidad respecto a 5, 6 y 9 nos obtenemos una serie de tres razones de las sacaremos 2 proporciones para montar un sistema y calcular “a” y “d”.
\dfrac{a+5}{5}=\dfrac{a+d+4}{6}=\dfrac{a+2d+7}{9}.
Multiplicamos en cruz la 1ª y la 2ª y la 2ª con la tercera:
\left. \begin{array}{rcl} 6a+30=5a+5d+20 \\ 9a+9d+36=6a+12d+42 \end{array} \right\}.
Transponiendo y agrupando términos:
\left. \begin{array}{rcl} a-5d=-10 \\ 3a-3d=6 \end{array} \right\}.
Simplificando la segunda ecuación
\left. \begin{array}{rcl} a-5d=-10 \\a-d= 2 \end{array} \right\}.
Si restamos las ecuaciones (reducción) nos queda que d= 3
Sustituimos en la 2ª ecuación a-3=2 \rightarrow a=5
Así pues los números buscados son: 5, 8 , 11
5) Interpolación de medios aritméticos o diferenciales
Interpola 4 medios aritméticos o diferenciales en tre los números 8 y 18
Interpolar 4 medios diferenciales entre 8 y 18 es formar la siguiente P.A: 8, a_2, a_3, a_4, a_5, 18
Donde a_2, a_3, a_4, a_5 son los cuatro números a interpolar, 8= a_1 y 18=a_6.
Usando la expresión del término general de una P.A tenemos que 18=8+5d . De donde d=2. Y ya podemos formar la P.A: 8, 10, 12, 14, 16, 18.
6) Halla cuatro números en progresión aritmética, conociendo su suma, que es 22, y la suma de sus cuadrados, 166.
Para facilitar la resolucion del sistema utilizamos el mismo truco que en el problema 1. Los números en cuestión serán: a-d, a, a+d, a+2d
El sistema de ecuaciones no lineal nos queda:
\left. \begin{array}{rcl}a-d+a+a+d+a+2d=22 \\ (a-d)^2+a^2+(a+d)^2+(a+2d)^2= 166 \end{array} \right\}.
Agrupando en la primera ecuación 4a+2d=22 \rightarrow 2a+d= 11
d=11-2a. Sustituimos en la ecuación no lineal:
(3a-11)^2+a^2+(11-a)^2+(22-3a)^2=166
Desarrollando y agrupando: 20a^2-220a+560=0.
Simplificando a^2-11a+28. Cuyas soluciones son: a=7 y a=4.
Si a= 7 entonces d=11-2 \cdot 7=-3 y la P.A 10, 7, 4, 1
Si a= 4 entonces d=11-2 \cdot 4=3 y la P.A 1, 4, 7, 10 como debía de ser
Explicación paso a paso: