Question

Un proyectil se dispara con una velocidad inicial de 800 km/hora ¿Qué ángulo de elevación debe tener para lograr un alcance horizontal de 4000 metros? Calcular la posición y velocidad del proyectil a los 15 segundos

Answer 1

El ángulo de elevación es de 26,30°

Para los 15 segundos la posición es de 3011,66 metros y la velocidad de 205,04 m/s

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad  Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Solución:  

A) Cálculo del ángulo de elevación del proyectil

$\large \textsf{Convertimos la } \bold {V_{0} }\ \large \textsf{de km/h a m/s }}$

$\large \textsf{Dividiendo el valor de la velocidad entre 3,6 } }}$

$\boxed{ \bold{ \frac{ 800\ km/h }{3,6} = 222,22 \ m/s}}$

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}}$

Donde

$\bold { V_{0} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial } }}$

$\bold { x_{max} \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil } }}$

$\bold { g \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} \ . \ g \ ={( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }}}$

$\large \textsf{Reemplazamos y hallaremos el \'angulo } } }}$

$\textsf{Quitamos las unidades para faciltaci\'on }$

$\boxed {\bold { 4000 \ . \ 9,8 \ ={( 222,22)^{2} \ . \ sen (2 \theta) }}}$

$\boxed {\bold { 39200 =49382 \ . \ sen (2 \theta) }}}$

$\boxed {\bold { 49382 \ . \ sen (2 \theta) = 39200 }}}$

$\boxed {\bold { sen (2 \theta) = \frac{39200}{ 49382 \ } }}}$

$\boxed {\bold { sen (2 \theta) = \frac{19600}{ 24961 } }}}$

$\textsf{Aplicamos la inversa del seno }$

$\boxed {\bold { sen (2 \theta) = arcsen\left(\frac{19600}{ 24961 \right) } }}}$

$\boxed {\bold { 2 \theta = 52,54314349\° }}}$

$\boxed {\bold { \theta = \frac{ 52,54314349\° }{2} }}}$

$\boxed {\bold { \theta = 26,27157174\° }}}$

$\large\boxed {\bold { \theta = 26,30\° }}}$

$\textsf{La funci\'on seno es positiva en el primer y en el segundo cuadrante }$

$\large \textsf{Para encontrar la segunda soluci\'on:} }}$

$\boxed {\bold { 2 \theta =180\° - 52,54314349\° }}}$

$\boxed {\bold { 2 \theta = 127,4568565\° }}}$

$\boxed {\bold { \theta = \frac{ 127,4568565\° }{2} }}}$

$\boxed {\bold { \theta = 63,72842825\° }}}$

$\large\boxed {\bold { \theta = 63,73\° }}}$

B) Cálculo de la posición y velocidad del proyectil a los 15 segundos

Calculamos las velocidades horizontal y vertical

Velocidad Horizontal

Siendo para el eje x

$\boxed {\bold { {V_{0x} =V_{0} \ . \ cos \ \theta}}}$

$\boxed {\bold { {V_{0x} =222,2 \ m/s \ . \ cos \ 26,3\°}}}$

$\boxed {\bold { {V_{0x} =199,22 \ m/s }}}$

Y para el eje y

Velocidad Vertical

$\boxed {\bold { {V_{0y} =V_{0} \ . \ sen \ \theta}}}$

$\boxed {\bold { {V_{0y} =222,2 \ m/s \ . \ sen \ 26,3\°}}}$

$\boxed {\bold { {V_{0y} =98,46 \ m/s }}}$

Posición a los 15 segundos

Posición horizontal

Para el eje x (MRU)

$\boxed {\bold { x ={V_{0x} \ . \ t }}}$

$\boxed {\bold { x =199,22 \ m/s \ . \ 15 \ s }}}$

$\boxed {\bold { x =2988,3 \ metros }}}$

Posición vertical

Para el eje y (MRUV)

$\boxed {\bold { y ={V_{0y}\ . \ t - \frac{g \ . \ t^{2} }{2} } }}}$

$\textsf{Quitamos unidades para facilitaci\'on }$

$\boxed {\bold { y ={98,46 \ . \ 15 - \frac{9,8 \ . \ 225 }{2} } }}}$

$\boxed {\bold { y ={1476,9 - \frac{2205 }{2} } }}}$

$\boxed {\bold { y ={1476,9 - 1102,5} } }}}$

$\boxed {\bold { y ={374,4 \ metros} } }}}$

Con los componentes en x y en y empleamos el teorema de Pitágoras para hallar la posición

$\boxed{\bold { r = \sqrt{ x^{2} + y^{2} } }}$

$\boxed{\bold { r = \sqrt{ (2988,3)^{2} +(374,4 )^{2} } }}$

$\boxed{\bold { r = \sqrt{8929936,9 + 140735,36 } }}$

$\boxed{\bold { r = \sqrt{9070112,26 } }}$

$\boxed{\bold { r =3011,66 \ metros } }}$

Velocidad a los 15 segundos

La velocidad en el eje x se mantiene constante y no varía (MRU)

$\boxed {\bold { {V_{x} =199,22 \ m/s }}}$

Determinaremos la velocidad en el eje y (velocidad vertical) para 15 segundos (MRUV)

$\boxed {\bold { {V_{y} =V_{0y}- g \ . \ t }}}$

$\boxed {\bold { {V_{y} =98,46 \ m/s- 9,8 \ m/s^{2} \ . \ 15 \ s }}}$

$\boxed {\bold { {V_{y} =98,46 \ m/s- 147 \ m/s }}}$

$\boxed {\bold { {V_{y} =- 48,54 \ m/s }}}$

Por medio del teorema de Pitágoras hallaremos la velocidad resultante para ese instante de tiempo con los componentes en x y en y

$\boxed{\bold { V_{R} = \sqrt{ ( V_{X} )^{2} + ( V_{Y} )^{2} } }}$

$\boxed{\bold { V_{R} = \sqrt{ ( 199,22 )^{2} + ( -48,54 )^{2} } }}$

$\boxed{\bold { V_{R} = \sqrt{ 39684,624 + 2365,1316 } }}$

$\boxed{\bold { V_{R} = \sqrt{ 42040,7556 } }}$

$\boxed{\bold { V_{R} = 205,04 \ m/s } }}$