La suma de tres terminos consecutivos de una sucesion aritmetica es 12 y la suma de sus cuadrados es 66.Calcula dichos numeros
NECESITO EL PROCEDIMIENTO
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17
A ver si puedo con él.
Habrá que plantear un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas, una será el primer término que llamaré "a" y la otra incógnita será la diferencia "d" que aparece en cualquier sucesión ya que es el número que se suma o resta a un término para conseguir el siguiente.
Así pues tendremos los términos:
a₁ = a
a₂ = a+d
a₃ = a+d+d = a+2d
También tenemos el dato de que disponemos de 3 términos, es decir que la progresión consta de n = 3 ... y por tanto, el término a₃ (a subtres) = an (a subene)
Identificados los términos y la diferencia, aplico la fórmula de suma de términos de una progresión aritmética:
Sn = (a₁+an)·n / 2 ...sustituyendo por lo de arriba...
Sn = [a+(a+2d)]·3 / 2 ... y como sabemos que Sn = 12 se plantea:
[a+(a+2d)]·3 / 2 = 12 ---------------> 1ª ecuación que se desarrolla...
(2a + 2d)·3 / 2 = 12 -----> (6a + 6d) / 2 = 12 ----> 6a + 6d = 24 ... dividiendo por 6 ...
a+d = 4 ... despejando "d" -------> d = 4-a
La segunda ecuación es más sencilla de ver ya que se basa en los cuadrados de los términos y será:
a² + (a+d)² + (a+2d)² = 66 ... desarrollando los binomios al cuadrado...
a² + a² + d² +2ad + a² +4d² + 4ad = 66 -----> 3a² + 5d² + 6ad -66 = 0
Método de sustitución. Sustituyo el valor de "d" de la primera en la segunda...
3a² + 5·(4-a)² + 6a(4-a) -66 = 0 -----> 3a² + 5·(16+a²-8a) +24a -6a² -66 = 0 ----->
3a² + 80 + 5a² -40a +24a -6a² -66 = 0 -------> 2a² -16a +14 = 0 ... divido por 2 ...
a² -8a +7 = 0 ... aplico fórmula general...
________
–b ± √ b² – 4ac
A = ▬▬▬▬▬▬▬ ... de donde salen las raíces...
2a
A₁ = (8+6)/2 = 7
A₂ = (8-6)/2 = 1
Voilà!!! Salió biennnn!!!
Esas raíces nos están dando el valor del primer término y el del tercero ya que la diferencia "d" será 3, así que los términos buscados serán:
1 , 4 , 7 ... que sumados nos dan 12. Comprobada la primera parte.
Compruebo ahora la segunda parte. La suma de sus cuadrados es 66
1² + 4² + 7² = 1+16+49 = 66 ... Comprobado también.
Casi era más complicado y laborioso desarrollar el sistema de ecuaciones que deducir las mismas.
Saludos.
Habrá que plantear un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas, una será el primer término que llamaré "a" y la otra incógnita será la diferencia "d" que aparece en cualquier sucesión ya que es el número que se suma o resta a un término para conseguir el siguiente.
Así pues tendremos los términos:
a₁ = a
a₂ = a+d
a₃ = a+d+d = a+2d
También tenemos el dato de que disponemos de 3 términos, es decir que la progresión consta de n = 3 ... y por tanto, el término a₃ (a subtres) = an (a subene)
Identificados los términos y la diferencia, aplico la fórmula de suma de términos de una progresión aritmética:
Sn = (a₁+an)·n / 2 ...sustituyendo por lo de arriba...
Sn = [a+(a+2d)]·3 / 2 ... y como sabemos que Sn = 12 se plantea:
[a+(a+2d)]·3 / 2 = 12 ---------------> 1ª ecuación que se desarrolla...
(2a + 2d)·3 / 2 = 12 -----> (6a + 6d) / 2 = 12 ----> 6a + 6d = 24 ... dividiendo por 6 ...
a+d = 4 ... despejando "d" -------> d = 4-a
La segunda ecuación es más sencilla de ver ya que se basa en los cuadrados de los términos y será:
a² + (a+d)² + (a+2d)² = 66 ... desarrollando los binomios al cuadrado...
a² + a² + d² +2ad + a² +4d² + 4ad = 66 -----> 3a² + 5d² + 6ad -66 = 0
Método de sustitución. Sustituyo el valor de "d" de la primera en la segunda...
3a² + 5·(4-a)² + 6a(4-a) -66 = 0 -----> 3a² + 5·(16+a²-8a) +24a -6a² -66 = 0 ----->
3a² + 80 + 5a² -40a +24a -6a² -66 = 0 -------> 2a² -16a +14 = 0 ... divido por 2 ...
a² -8a +7 = 0 ... aplico fórmula general...
________
–b ± √ b² – 4ac
A = ▬▬▬▬▬▬▬ ... de donde salen las raíces...
2a
A₁ = (8+6)/2 = 7
A₂ = (8-6)/2 = 1
Voilà!!! Salió biennnn!!!
Esas raíces nos están dando el valor del primer término y el del tercero ya que la diferencia "d" será 3, así que los términos buscados serán:
1 , 4 , 7 ... que sumados nos dan 12. Comprobada la primera parte.
Compruebo ahora la segunda parte. La suma de sus cuadrados es 66
1² + 4² + 7² = 1+16+49 = 66 ... Comprobado también.
Casi era más complicado y laborioso desarrollar el sistema de ecuaciones que deducir las mismas.
Saludos.
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