Respuestas
Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma
Si
se llama Ecuación homogénea, como por ejemplo
Si
se llama Ecuación no homogénea, como por ejemplo
1) DEFINICIÓN DE INDEPENDENCIA LINEAL
Se dice que las funciones son linealmente independientes si la única solución de la ecuación
Donde En caso contrario, las funciones son linealmente dependientes.
Ejemplos:
1) Las funciones ; para ser linealmente independientes debe cumplir
Remplazando los valores de las funciones se obtiene
Como los únicos valores posibles de para que cumpla la igualdad es entonces las funciones ; son linealmente independientes
2) Las funciones ; para ser linealmente independientes debe cumplir
Remplazando los valores de las funciones se obtiene
Como uno de los posibles valores de para que cumpla la igualdad pueden ser entonces las funciones ; son linealmente dependientes
Si son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial
, entonces, la solución general es
Donde son las constantes
Además por ser ecuación diferencial de segundo orden se tiene soluciones de la forma
Entonces
Remplazando en se tiene
Factorando
Como nunca se anula, es una solución si y solo si
Ejemplo ilustrativo
Resolver la ecuación diferencial
Solución:
Se obtiene la ecuación característica, para lo cual se sustituye por , por , e por 1 para obtener una ecuación de la forma
Por lo tanto la ecuación característica de es
Resolviendo la ecuación se tiene
Entonces
Que son las soluciones particulares de la ecuación diferencial
Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes la solución general es
Graficando para valores arbitrarios se tiene
Leer más: http://www.monografias.com/trabajos97/ecuaciones-diferenciales-segundo-orden/ecuaciones-diferenciale...