Respuestas
Explicación paso a paso:
Si se observa dos enteros consecutivos, por ejemplo 1 y 2, se puede apreciar que 2 se puede escribir como 1+1. También, si se observan los números 23 y 24, se concluye que 24 se puede escribir como 23+1.
Para los enteros negativos también se puede verificar este comportamiento. En efecto, si se consideran -35 y -36, se puede ver que -35 = -36 + 1.
Por lo tanto, si se escoge cualquier número entero “n”, entonces el entero consecutivo a “n” es “n+1”. Así, ya se ha establecido una relación entre dos enteros consecutivos.
Sean dados dos enteros consecutivos “n” y “n+1”, entonces sus cuadrados son “n²” y “(n+1)²”. Utilizando las propiedades de los productos notables, este último término se puede escribir como sigue:
(n+1)² = n² + 2*n*1 + 1² = n²+2n+1.
Por último, la suma de los cuadrados de los dos números consecutivos está dada por la expresión:
n²+n²+2n+1 = 2n² + 2n +1 = 2n(n+1)+1.
Si se detalla la fórmula anterior, se puede apreciar que solo basta conocer el menor número entero “n” para conocer cuál es la suma de los cuadrados, es decir, solo basta utilizar el menor de los dos números enteros.
Otra perspectiva de la fórmula obtenida es: se multiplican los números escogidos, luego el resultado obtenido es multiplicado por 2 y por último se le suma 1.
Por otro lado, el primer sumando de la derecha es un número par, y al sumarle 1 el resultado será impar. Esto dice, que el resultado de sumar los cuadrados de dos números consecutivos siempre será un número impar.
También se puede destacar que como se está sumando dos números elevados al cuadrado, entonces este resultado siempre será positivo.
Ejemplos
1.- Considere los enteros 1 y 2. El menor entero es 1. Utilizando la fórmula anterior, se concluye que la suma de los cuadrados es: 2*(1)*(1+1)+1 = 2*2+1 = 4+1 = 5. Lo cual concuerda con las cuentas realizadas al comienzo.
2.- Si se toman los enteros 5 y 6, entonces la suma de los cuadrados será 2*5*6 + 1 = 60 + 1 = 61, lo cual también coincide con el resultado obtenido al comienzo.
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