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En matemáticas, una función exponencial es una función de la forma{\displaystyle f(x)=ab^{x}}{\displaystyle f(x)=ab^{x}} en el que el argumento x se presenta como un exponente. Una función de la forma {\displaystyle f(x)=ab^{cx+d}}{\displaystyle f(x)=ab^{cx+d}} también es una función exponencial, ya que puede reescribirse como{\displaystyle ab^{cx+d}=\left(ab^{d}\right)\left(b^{c}\right)^{x}.}
Como funciones de una variable real, las funciones exponenciales se caracterizan únicamente por el hecho de que la tasa de crecimiento de dicha función (es decir, su derivada) es directamente proporcional al valor de la función. La constante de proporcionalidad de esta relación es el logaritmo natural de la base b:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}b^{x}=b^{x}\log _{e}b.}{\displaystyle {\frac {d}{dx}}b^{x}=b^{x}\log _{e}b.} La constante e = 2.71828... es la base única para la cual la constante de proporcionalidad es 1, de modo que la derivada de la función es en sí misma:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}\log _{e}e=e^{x}.}{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}\log _{e}e=e^{x}.}Dado que el cambio de la base de la función exponencial simplemente da como resultado la aparición de un factor constante adicional, es computacionalmente conveniente reducir el estudio de las funciones exponenciales en el análisis matemático al estudio de esta función particular, llamada convencionalmente la "función exponencial natural",[1][2] o simplemente, "la función exponencial" y denotada por{\displaystyle x\mapsto e^{x}}{\displaystyle x\mapsto e^{x}} o bien{\displaystyle x\mapsto \exp(x).}{\displaystyle x\mapsto \exp(x).}Si bien ambas notaciones son comunes, la primera se usa generalmente para los exponentes más simples, mientras que la última tiende a usarse cuando el exponente es una expresión complicada.