Question

Derivada
Alguien que me pueda ayudar con esta derivada? Doy corona

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

         Derivada de una función

Nos piden derivar:

$f(x)= \frac{x+Cos(x)}{x-Sen(x)}$

Antes debemos recordar algunas reglas de derivación

    Regla del Cociente

• $[\frac{f(x)}{g(x)} ]'=\frac{g(x)*[f(x) ]'-f(x)*[g(x) ]'}{[g(x) ]^{2} }$

  Regla de la suma / diferencia

• $[f(x)+g(x) ]' = [f(x) ]'+ [ g(x)]'$

• $[f(x)-g(x) ]' = [f(x) ]'- [ g(x)]'$

      Derivada de la función identidad

• $(ax)'=a$

Donde "a" es un numero

        Derivada del Coseno

• $(Cosx)'= -Senx$

          Derivada del Seno

• $(Senx)'= Cosx$  

Teorema fundamental de la Trigonométria

• $Cos^{2}x+Sen^{2}x=1$

Ahora si vamos al ejercicio

Aplicando regla del cociente, tenemos

$f'(x)=\frac{[(x+Cosx)'*(x-Senx) ]-[(x-Senx)'*(x+Cosx) ]}{(x-Senx)^{2} }$

Aplicamos la regla de  la suma/diferencia y ademas las derivadas de la función identidad y del seno, coseno

$f'(x)= \frac{[(1-Senx)*(x-Senx) ]-[(1-Cosx)*(x+Cosx) ]}{(x-Senx)^{2} }$

Vamos a intentar reducir los términos, realizando la propiedad distributiva

$f'(x)= \frac{(x-Senx-xSenx+Sen^{2}x)-(x+Cosx-xCosx-Cos^{2}x ) }{(x-Senx)^{2} }$  

$f'(x)= \frac{x-Senx-xSenx+Sen^{2}x-x-Cosx+xCosx+Cos^{2}x }{(x-Sen)^{2} }$

Reducimos las "x"

$f'(x)= \frac{-Senx-xSenx+Sen^{2}x-Cosx+xCosx+Cos^{2}x }{(x-Senx)^{2} }$

Tenemos Sen²x + Cos²x,  aplicando el teorema ya mencionado, esto es igual a 1

$f'(x)= \frac{-Senx-xSenx+-Cosx+xCosx+1 }{(x-Senx)^{2} }$   Solución

El binomio que tenemos al cuadrado no es necesario resolverlo, ya que si lo hacemos no nos afectara en nada

Te dejo un ejercicio similar

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Saludoss