Question

Hallar la suma de ángulos internos del polígono que tiene 54 diagonales

Answer 1

Sabiendo las diagonales debemos hallar el número de lados que tiene el polígono para poder hallar posteriormente la suma de sus ángulos internos. 
                                                n (n-3) 
la cantidad de diagonales = -------------
                                                    2
           n (n-3)
54 = ------------
              2

54 * 2 = n (n-3)

108 = n² -3n 

n² - 3n - 108 = 0 

podemos hallar el valor de n usando la fórmula general de las ecuaciones cuadráticas o factorizando. 

factorizando
debemos hallar dos números que multiplicados den -108 y restados den - 3 

n² - 3n - 108 = 0 

(n -    ) ( n +    )  = 0              

descomponemos 108 en factores primos
108  : 2          ya sabemos que combinando 2  y 3 podemos 
  54  : 2          hallar las soluciones 
  27 :  3           2 * 2  * 3 =   12 
    9 :  3           3  *  3     =    9  
    3 :  3 
    1 

n² - 3n - 108 = 0 

(n - 12) ( n + 9 )  = 0      n = 12   y    n = - 9      

la solución negativa no nos sirve tomamos la positiva. el polígono tiene 12 lados

si hallamos por la fórmula general. 

$\frac{3+- \sqrt{9-4(-108)} }{2} = \frac{3+- \sqrt{9+432} }{2}$

$\frac{3+- \sqrt{441} }{2} = \frac{3+-21}{2}$

$n_{1} = \frac{3+21}{2} = \frac{24}{2} = 12$
la otra solución es negativa ya no la hallamos. 

Sabiendo que el polígono tiene 12 lados 
hallamos la suma de sus ángulos interiores

suma de ángulos interiores = (n - 2) * 180º  = (12 - 2 ) * 180º = 

suma de ángulos interiores = 10 * 180º = 1800º