Question

a²+b²=1. Demostrar que: -√2≤a+b≤√2. Una manito por favor.

Answer 1

Primero hallemos los extremos de la función $f(a,b)=a+b$ subsidiado a la condición $a^2+b^2=1$, para ello despejemos a la variable $b$

                $a^2+b^2=1\Longrightarrow b=\pm\sqrt{1-a^2}$

y sean
           $b_1(a)=-\sqrt{1-a^2}\;\;\;\wedge\;\;\;b_2(a)=\sqrt{1-a^2}$

entonces
                     $f_1(a)=a-\sqrt{1-a^2}\;\; \wedge \;\; f_2(a)=a+\sqrt{1-a^2}$

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Hallemos los extremos de cada función

Criterio de la primera derivada

          $\dfrac{df_1}{da}=0\\ \\ 1+\dfrac{a}{\sqrt{1-a^2}}=0\\ \\ -a=\sqrt{1-a^2}\\ \\ a^2=1-a^2\\ \\ \boxed{a=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}}$

Ahora veamos si $a=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ es un punto de extremo

Criterio de la segunda derivada
                  
                       $\dfrac{d^2f_1}{da^2}=\dfrac{1}{\sqrt{1-a^2}^3}\\ \\ \\ \left.\dfrac{d^2f_1}{da^2}\right|_{a=-1/\sqrt2}=2\sqrt{2}\\ \\ \\ \left.\dfrac{d^2f_1}{da^2}\right|_{a=-1/\sqrt2}\ \textgreater \ 0$

Por lo tanto $a=-\dfrac{1}{\sqrt2}$ es un punto de mínimo, por ello
                                     
                                          $f_1\left(-1/\sqrt{2}\right)=-\sqrt{2}$

es decir $a+b\geq -\sqrt{2}$

de forma análoga se puede concluir que $a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ es un punto de máximo absoluto para la función $f_2$, es decir: $a+b\leq \sqrt{2}$

y con eso queda demostrado