Respuestas
Respuesta: Radicación
La radicación es la operación inversa de la potenciación. Supongamos que nos dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un número b de veces nos da el numero a.
Por ejemplo: calcular qué número multiplicado por si mismo 2 veces da 196. Ese número es 14.
El número que esta dentro de la raíz se llama radicando, el grado de la raíz se llama índice del radical, el resultado se llama raíz.
Podemos considerar la radicación como un caso particular de la potenciación. En efecto, la raíz cuadrada de un numero (por ejemplo a) es igual que a1/2, del mismo modo la raíz cúbica de a es a1/3 y en general, la raíz enésima de un numero a es a1/n.
La mejor forma de resolver los ejercicios de operaciones con raíces es convertir las raíces a potencias y operar teniendo en cuenta las propiedades dadas para la operación de potenciación.
Términos
Los términos de la radicación son: el radicando, el indice radical y la raiz.
El radicando es cualquier número dado del que deseamos hayar la raiz.
El indice radical indica las veces que hay que multiplicar por si mismo un número para obtener el radicando.
La raiz es el número que multiplicado por si mismo las veces que indica el indice radical da el radicando.
Representación en forma potencial de una radicación
Sabemos que una potencia fraccionaria N/D de un número R es igual a la siguiente igualdad: R^{n/d}=(\sqrt[d]{R})^n según la propiedad de potencia de un exponente fraccionario.
Un número elevado al exponente 1 es el mismo número ya que A1 = A.
Una potencia A1 / D es igual la raiz D del número A elevado a 1, es decir (\sqrt[d]{A})^1=\sqrt[d]{A}).
Como una raiz elevada a 1 da la misma raiz, esto no servira para deducir que toda raiz N de un radicando R, es una potencia de base R elevada a 1/N.
Ejemplo: \sqrt[2]{25}=25^{1/2}
En realidad las propiedades de la radicación son las mismas que la de la potenciación pero con exponente fraccionario.
Clases de raices más utilizadas
Las raices más utilizadas son la cuadrada y la cúbica.
La raiz cuadrada es aquella donde un número multiplicado por si mismo dos veces da un radicando determinado.
Ejemplo: 25^{1/2}=\sqrt[2]{25}=5
La raiz cúbica es aquella donde un número multiplicado por si mismo tres veces da un radicando determinado.
Ejemplo: 8^{1/3}=\sqrt[3]{8}=2
Propiedades de radicación de operaciones
Radicación de una multiplicación
La raiz N de una multiplicación es igual a la multiplicación de las raices de todos los factores con indice radical N.
DEMOSTRACIÓN:
Sea la radicación \sqrt[I]{AxB}=C que puesta en forma potencial sería (AxB)1 / I = C y que según la propiedad de potencia de un producto, que dice: la potencia de un producto es igual al producto de los factores elevedos al mismo exponente. De lo enunciado resultaría (AxB)1 / I = A(1 / I)xB(1 / I) = C y como A^{1/I}=\sqrt[I]{A} y B^{1/I}=\sqrt[I]{B} resultará que \sqrt[I]{AxB}=(\sqrt[I]{A})x(\sqrt[I]{B})=C
Ejemplo: \sqrt[2]{64x16}=\sqrt[2]{64}x\sqrt[2]{16}=8x4=32
Radicación de una división
La raiz N de una división es igual a la división de las raices del dividendo con indice radical N dividido por el divisor con el mismo indice radical.
DEMOSTRACIÓN:
Sea la radicación \sqrt[I]{A/B}=C que puesta en forma potencial sería (A / B)1 / I = C y según la propiedad de potencia de una división, que dice: la potencia de una división es igual al cociente de las potencia del dividendo dividido por el divisor elevados al mismo exponente. De lo dicho resultaría: (A / B)1 / i = (A1 / i) / (B1 / i) = C y como A^{1/I}=\sqrt[I]{A} y B^{1/I}=\sqrt[I]{B} resultará que \sqrt[I]{A/B}=(\sqrt[I]{A})/(\sqrt[I]{B})=C
Ejemplo: \sqrt[2]{64/16}=\sqrt[2]{64}/\sqrt[2]{16}=8/4=2
Radicación de una potencia
La raiz de una potencia es otra potencia, con la misma base, que tiene por exponente una fracción de denominador el indice radical y numerador el exponente de la potencia.
DEMOSTRACIÓN:
Sea la operación \sqrt[H]{(B^N)}=C que puesto en forma potencial sería (BN)(1 / H) = C que según la propiedad de potencia de una potencia, es igual a la misma base elevada al producto de los exponentes, que indicariamos así: (BN)1 / H = BNx(1 / H) = B(N / H) = C
Ejemplo: \sqrt[2]{(5^4)}=5^{4/2}=5^2=25
Explicación paso a paso: