buenos dias , alguien que me ayude a resolver con este ejercicio de Función de Heaviside (Escalón) gracias.
1.resuelve para t>=0 la ecuación diferencial
d^2x/dt^2+7dx/dt+10x=2u+3du/dt
sujeta a x=0 y dx/dt=2 en t=0 y donde u(t)=e^-2t H(t)
Respuestas
Respuesta dada por:
4
Veamos la expresión a la derecha de la igualdad
![2u+3u'_t=2e^{-2t}H(t)+3\left[-2e^{-2t}H(t)\right]\\ \\
\boxed{2u+3u'_t=-4e^{-2t}H(t)} 2u+3u'_t=2e^{-2t}H(t)+3\left[-2e^{-2t}H(t)\right]\\ \\
\boxed{2u+3u'_t=-4e^{-2t}H(t)}](https://tex.z-dn.net/?f=2u%2B3u%27_t%3D2e%5E%7B-2t%7DH%28t%29%2B3%5Cleft%5B-2e%5E%7B-2t%7DH%28t%29%5Cright%5D%5C%5C+%5C%5C%0A%5Cboxed%7B2u%2B3u%27_t%3D-4e%5E%7B-2t%7DH%28t%29%7D)
Luego reescribamos la ecuación
![x''+7x'+10x=-4e^{-2t}H(t)\\ \\
\text{Apliquemos la transformada de Laplace:}
x''+7x'+10x=-4e^{-2t}H(t)\\ \\
\text{Apliquemos la transformada de Laplace:}](https://tex.z-dn.net/?f=x%27%27%2B7x%27%2B10x%3D-4e%5E%7B-2t%7DH%28t%29%5C%5C+%5C%5C%0A%5Ctext%7BApliquemos+la+transformada+de+Laplace%3A%7D%0A)
![L\{x''\}(s)+7L\{x'\}(s)+10L\{x\}(s)=-4L\{e^{-2t}H(t)\}(s)\\ \\ \\
\left[s^2L\{x\}(s)-s\cdot x(0)-x'(0)\right]+7\left[sL\{x\}(s)-x(0)\right]+10L\{x\}(s)=\cdots\\ \\
\hspace*{7cm}=-4L\{H(t)\}(s+2)\\ \\ \\
(s^2+7s+10)L\{x\}(s)-2=-\dfrac{4}{s+2}\\ \\
\hspace*{6cm}\left(\text{Propiedad: }L\{H(t-a)\}(s)=\dfrac{e^{-as}}{s}\right) L\{x''\}(s)+7L\{x'\}(s)+10L\{x\}(s)=-4L\{e^{-2t}H(t)\}(s)\\ \\ \\
\left[s^2L\{x\}(s)-s\cdot x(0)-x'(0)\right]+7\left[sL\{x\}(s)-x(0)\right]+10L\{x\}(s)=\cdots\\ \\
\hspace*{7cm}=-4L\{H(t)\}(s+2)\\ \\ \\
(s^2+7s+10)L\{x\}(s)-2=-\dfrac{4}{s+2}\\ \\
\hspace*{6cm}\left(\text{Propiedad: }L\{H(t-a)\}(s)=\dfrac{e^{-as}}{s}\right)](https://tex.z-dn.net/?f=L%5C%7Bx%27%27%5C%7D%28s%29%2B7L%5C%7Bx%27%5C%7D%28s%29%2B10L%5C%7Bx%5C%7D%28s%29%3D-4L%5C%7Be%5E%7B-2t%7DH%28t%29%5C%7D%28s%29%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C%0A%5Cleft%5Bs%5E2L%5C%7Bx%5C%7D%28s%29-s%5Ccdot+x%280%29-x%27%280%29%5Cright%5D%2B7%5Cleft%5BsL%5C%7Bx%5C%7D%28s%29-x%280%29%5Cright%5D%2B10L%5C%7Bx%5C%7D%28s%29%3D%5Ccdots%5C%5C+%5C%5C%0A%5Chspace%2A%7B7cm%7D%3D-4L%5C%7BH%28t%29%5C%7D%28s%2B2%29%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C%0A%28s%5E2%2B7s%2B10%29L%5C%7Bx%5C%7D%28s%29-2%3D-%5Cdfrac%7B4%7D%7Bs%2B2%7D%5C%5C+%5C%5C+%0A%5Chspace%2A%7B6cm%7D%5Cleft%28%5Ctext%7BPropiedad%3A+%7DL%5C%7BH%28t-a%29%5C%7D%28s%29%3D%5Cdfrac%7Be%5E%7B-as%7D%7D%7Bs%7D%5Cright%29)
![L\{x\}=\dfrac{2s}{(s+2)^2(s+5)}\\ \\ \\
L\{x\}=\dfrac{10/9}{s+2}-\dfrac{4/3}{(s+2)^2}-\dfrac{10/9}{s+5}\\ \\ \\
x=\dfrac{10}{9}L\left\{\dfrac{1}{s+2}\right\}-\dfrac{4}{3}L\left\{\dfrac{1}{(s+2)^2}\right\}-\dfrac{10}{9}L\left\{\dfrac{1}{s+5}\right\}\\ \\ \\ \\
\boxed{x=\dfrac{10}{9}e^{-2t}-\dfrac{4}{3}te^{-2t}-\dfrac{10}{9}e^{-5t}} L\{x\}=\dfrac{2s}{(s+2)^2(s+5)}\\ \\ \\
L\{x\}=\dfrac{10/9}{s+2}-\dfrac{4/3}{(s+2)^2}-\dfrac{10/9}{s+5}\\ \\ \\
x=\dfrac{10}{9}L\left\{\dfrac{1}{s+2}\right\}-\dfrac{4}{3}L\left\{\dfrac{1}{(s+2)^2}\right\}-\dfrac{10}{9}L\left\{\dfrac{1}{s+5}\right\}\\ \\ \\ \\
\boxed{x=\dfrac{10}{9}e^{-2t}-\dfrac{4}{3}te^{-2t}-\dfrac{10}{9}e^{-5t}}](https://tex.z-dn.net/?f=L%5C%7Bx%5C%7D%3D%5Cdfrac%7B2s%7D%7B%28s%2B2%29%5E2%28s%2B5%29%7D%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C%0AL%5C%7Bx%5C%7D%3D%5Cdfrac%7B10%2F9%7D%7Bs%2B2%7D-%5Cdfrac%7B4%2F3%7D%7B%28s%2B2%29%5E2%7D-%5Cdfrac%7B10%2F9%7D%7Bs%2B5%7D%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C%0Ax%3D%5Cdfrac%7B10%7D%7B9%7DL%5Cleft%5C%7B%5Cdfrac%7B1%7D%7Bs%2B2%7D%5Cright%5C%7D-%5Cdfrac%7B4%7D%7B3%7DL%5Cleft%5C%7B%5Cdfrac%7B1%7D%7B%28s%2B2%29%5E2%7D%5Cright%5C%7D-%5Cdfrac%7B10%7D%7B9%7DL%5Cleft%5C%7B%5Cdfrac%7B1%7D%7Bs%2B5%7D%5Cright%5C%7D%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C%0A%5Cboxed%7Bx%3D%5Cdfrac%7B10%7D%7B9%7De%5E%7B-2t%7D-%5Cdfrac%7B4%7D%7B3%7Dte%5E%7B-2t%7D-%5Cdfrac%7B10%7D%7B9%7De%5E%7B-5t%7D%7D)
Luego reescribamos la ecuación
nayibelizeth:
de donde salio -4e^-2t H(t)?
Preguntas similares
hace 6 años
hace 6 años
hace 6 años
hace 9 años
hace 9 años
hace 9 años