Question

buenos dias , alguien que me ayude a resolver con este ejercicio de Función de Heaviside (Escalón) gracias.

1.resuelve para t>=0 la ecuación diferencial
d^2x/dt^2+7dx/dt+10x=2u+3du/dt

sujeta a x=0 y dx/dt=2 en t=0 y donde u(t)=e^-2t H(t)

Answer 1

Veamos la expresión a la derecha de la igualdad

$2u+3u'_t=2e^{-2t}H(t)+3\left[-2e^{-2t}H(t)\right]\\ \\ \boxed{2u+3u'_t=-4e^{-2t}H(t)}$

Luego reescribamos la ecuación

$x''+7x'+10x=-4e^{-2t}H(t)\\ \\ \text{Apliquemos la transformada de Laplace:}$

$L\{x''\}(s)+7L\{x'\}(s)+10L\{x\}(s)=-4L\{e^{-2t}H(t)\}(s)\\ \\ \\ \left[s^2L\{x\}(s)-s\cdot x(0)-x'(0)\right]+7\left[sL\{x\}(s)-x(0)\right]+10L\{x\}(s)=\cdots\\ \\ \hspace*{7cm}=-4L\{H(t)\}(s+2)\\ \\ \\ (s^2+7s+10)L\{x\}(s)-2=-\dfrac{4}{s+2}\\ \\ \hspace*{6cm}\left(\text{Propiedad: }L\{H(t-a)\}(s)=\dfrac{e^{-as}}{s}\right)$


$L\{x\}=\dfrac{2s}{(s+2)^2(s+5)}\\ \\ \\ L\{x\}=\dfrac{10/9}{s+2}-\dfrac{4/3}{(s+2)^2}-\dfrac{10/9}{s+5}\\ \\ \\ x=\dfrac{10}{9}L\left\{\dfrac{1}{s+2}\right\}-\dfrac{4}{3}L\left\{\dfrac{1}{(s+2)^2}\right\}-\dfrac{10}{9}L\left\{\dfrac{1}{s+5}\right\}\\ \\ \\ \\ \boxed{x=\dfrac{10}{9}e^{-2t}-\dfrac{4}{3}te^{-2t}-\dfrac{10}{9}e^{-5t}}$