Question

Encuentra las ecuaciones vectorial, paramétrica y cartesiana del plano que pasa por los puntos A(1,2,3) y por los puntos B= (-2,-1,0) y C= (3,3,4)​

Answer 1

Respuesta:

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Explicación paso a paso:

$\PI$Sea $\Pi$ el plano que pasa por los puntos $A=(1, 2, 3), B=(-2, -1, 0)$ y $C=(3, 3, 4)$ por definición

$\Pi=\{(x, y, z)\in \mathbb{R}^3\, \vert \, (x, y, z)=\alpha(1, 2, 3)+\beta(-2, -1, 0)+\gamma(3, 3, 4) \, \alpha+\beta+\gamma=1\}$

en coordenadas baricéntricas

En caso de considerar coordenadas vectoriales  tomando

$\overrightarrow{AB}=B-A=(-2, -1, 0)-(1, 2,3)=(-2-1. -1-2,0-3)=(-3, -3, -3)$

$\overrightarrow{AC}=C-A=(3, 3, 4)-(1, 2, 3)=(3-1, 3-2, 4-3)=(2, 1, 1)$ tenemos:

$\Pi=\{(x, y, z)\in \mathbb{R}^3\, \vert \, (x, y, z)=A+s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC} \, s, t \in \mathbb{R}\}$

   $=\{(x, y, z)\in \mathbb{R}^3\, \vert \, (x, y, z)=(1, 2, 3)+s(-3, -3, -3)+t(2, 1, 1) \, s, t \in \mathbb{R}\}$

Ecuación vectorial de dicho plano, que se puede escribir como sistema en los parámetros $s, t \in \mathbb{R}$

$\left\{\begin{array}{c}x= 1-3s+2t\\y=2-3s+t\\z=3-3s+t\end{array}$

Para determinar la ecuación normal del plano encontraremos primero un vector perpendicular al mismo. Por ejemplo

$n=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\left\vert\begin{array}{ccc}i&j&k\\-3&-3&-3\\2&1&1\end{array}\right\vert=-3\left\vert\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&1&1\\2&1&1\end{array}\right\vert=-3(j-k)=(0,-3,3)$

De donde la ecuación normal del plano $\Pi$ es

$n\cdot (x, y, z)=n\cdot A\Leftrightarrow (0, -3, 3)\cdot(x, y, z)=(0, -3, 3)\cdot(1, 2, 3)$

                            $\Leftrightarrow -3y+3z=3$    

                            $\Leftrightarrow z-y=1$              (Ecuación cartesiana)