Question

Los lados de un triangulo miden 3, 5 y 7. Calcula el coseno del mayor ángulo. ​

Answer 1

$\Large{\textbf{\underline{Respuesta}. El coseno del mayor \'{a}ngulo es -\dfrac{1}{2} .}}$$\Large{\textbf{\underline{Respuesta.} El coseno del mayor \'{a}ngulo es -1/2.}}$

Para este ejercicio aplicaremos la Ley de Cosenos.

La Ley de Cosenos es una generalización del Teorema de Pitágoras y se puede usar para cualquier triángulo, no solo para los triángulos rectángulos (con los que se suele trabajar el Teorema de Pitágoras).

En este ejercicio, no estamos ante un triángulo rectángulo, ya que si lo fuera, se cumpliría el Teorema de Pitágoras:

3² + 5² ≠ 7²

9 + 25 ≠ 49

     34 ≠ 49

Entonces, como no se cumple el Teorema, sabemos que no es un triángulo rectángulo, sino otro triángulo.

La fórmula de la Ley de Cosenos es:

$\Large{\boxed{\mathsf{c^{2} = a^{2} + b^{2} -2(a)(b)(cosC)}}}$

"El cuadrado del lado "c" es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo que éstos forman"

Donde "a", "b" y "c" son los lados del triángulo, y "C" es el ángulo opuesto del lado "c".

[Ver imagen adjuntada]

"C" es el ángulo mayor, ya que es el opuesto al mayor lado.

Si quisiéramos hallar el lado "b", la fórmula cambiaría de la siguiente manera:

$\boxed{\mathsf{b^{2} = c^{2} + a^{2} -2(a)(b)(cosB)}}$

Nótese la relación ángulo-lado (lado c, ángulo C; lado b, ángulo B).

Bueno, en este caso, el lado mayor es "c", por lo tanto, el ángulo mayor es C. Vamos a calcular el coseno de este ángulo C.

Reemplazamos en la fórmula:

$\large{\mathsf{c^{2} = a^{2} + b^{2} -2(a)(b)(cosC)}$

$\large{\mathsf{7^{2} = 3^{2} + 5^{2} -2(3)(5)(cosC)}$

$\large{\mathsf{49 = 9 + 25 -30(cosC)}$

$\large{\mathsf{49-9 = 25-30(cosC)}$

$\large{\mathsf{40 = 25-30(cosC)}$

$\large{\mathsf{40-25 = -30(cosC)}$

$\large{\mathsf{15 = -30(cosC)}$

$\large{\mathsf{\dfrac{15}{-30} = cosC}$

$\large{\mathsf{-\dfrac{1}{2} = cosC}$

$\large{\boxed{\boxed{\mathsf{cosC=\dfrac{1}{2}}}}$

No necesitamos calcular la medida del mayor ángulo, ya que solo pide el coseno, y ya lo hemos calculado.

Respuesta. El coseno del mayor ángulo es -1/2.

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