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Hola, aquí va la respuesta
Teorema fundamental de la Aritmética(TFA)
"Sea n un entero no nulo y distinto de 1 y -1. Entonces existen primos positivos P₁, P₂,.., Pₖ tales que"
n= P₁×P₂×...×Pₖ
Esta factorizacion es única
Debemos usar los siguientes lemas:
- Si P es primo y P║a×b (a,b ∈ Z) entonces P║a o P║b
- Si P es primo y P divide a un producto de enteros n₁, n₂,...,nⱼ entonces P║nₖ para algún k
Recordemos la definición de divisibilidad:
a║b ⇔ ∃ m ∈ Z tal que b = m×a
Si demostramos que
- Todo numero se puede descomponer en factores primos
- Toda descomposición en primos es única
Ya tendremos el Teorema
Todo numero se puede descomponer en factores primos
Sea n ∈ Z⁺ un numero compuesto
Por el lema 2, va a existir un primo P₁ tal que:
P₁║ n
P₁ es el primo mas pequeño que divide a n
Ahora si P₁║n por definición de Divisibilidad:
∃n₁ ∈ Z : n= P₁×n₁ n₁ < n
Supongamos que n₁ no es primo ( si lo fuera ya acabaría la demostración) entonces:
∃ n₂ ∈ Z : n₁= P₂× n₂ con n₂ < n₁
Tendríamos:
n= P₁×P₂×n₂ n₂ < n₁ < n
Si n₂ no fuera primo, ni n₃, n₄, etc y seguimos realizando este proceso obtendríamos:
n= P₁×P₂×P₃×P₄×...×Pₖ ×nₖ
0 < nₖ <... < n₄ < n₃ < n₂ < n₁ < n
Osea tenemos una sucesión de enteros positivos. Esta sucesión no puede ser infinita ya que n₄, n₃,... son enteros menores que n y mayores de 0
Por tanto hemos llegado a que nₖ es primo
n= P₁×P₂ ×...×Pₖ Q.E.D
Toda descomposición en factores primos es única
Como ya demostramos que todo numero tiene una descomposición en factores primos, llamemos "n" a el menor de estos números:
Supongamos que existen primos P y Q tales que:
n= P₁×P₂×...×Pᵣ ∧ n= q₁×q₂×...×qₛ
P₁ < P₂ <... < Pᵣ ∧ q₁ < q₂ <... < qₛ
Sabemos que ningún Pᵢ es igual a algún qⱼ, vamos a demostrarlo por el absurdo
Supongamos que ∃ Pᵢ, qⱼ tal que: Pᵢ= qⱼ
Como son iguales, podemos cancelar Pᵢ y qⱼ, lo que obtendríamos es un n₁ que no contiene a Pᵢ, qⱼ
Es decir:
n₁= P₁×P₂×...×Pᵣ= q₁×q₂×...×qₛ
n₁ < n ya que le falta Pᵢ, qⱼ. Esto quiere decir que n₁ tiene 2 factorizaciones distintas. Lo cual es Absurdo ya que dijimos que "n" era el menor de los números que tenia mas de una factorizacion
Esto implica que Pᵢ ≠qⱼ
Ahora, sabemos que:
P₁×q₁ < n ⇒ 0 < n - P₁×q₁
Sabemos ademas que:
n - P₁×q₁ < n
Entonces: 0 < n - P₁×q₁ < n
Vamos a llamar "m" a n - P₁×q₁, tenemos:
0 < m < n
Como m < n, nos dice que m no va a tener factorizaciones distintas
A su vez, sabemos:
P₁║n ∧ q₁ ║ n
Si m= n - P₁×q₁ esto implica que P₁ divide a n y a P₁×q₁ por tanto
P₁ ║m
Y q₁ divide a n y P₁×q₁, entonces
q₁║m
Por el Lema 2
P₁×q₁║ m
Si en m= n - P₁×q₁, despejamos "n" obtendríamos:
n= m + P₁×q₁
⇒P₁×q₁ ║ n
Sabemos que n= P₁×q₁ , despejando q₁, nos queda:
q₁= n / p ₁ ⇒ q₁║ n / p₁
Si n= P₁×P₂×...×Pᵣ
Reemplazando:
q₁║P₁×P₂×...×Pᵣ / P₁
Simplificando:
q₁║P₂×P₃×...× Pᵣ
Como P₂×P₃×...× Pᵣ < n hay una factorizacion única, ya que dijimos que "n" era el menor
Ademas: q₁ ≠ Pᵢ, para i= 2...r
Esto implica que q₁∦ P₂× P₃ ×...× Pᵣ, pero esto es Absurdo ya que hemos supuesto que había números con mas de una factorizacion distinta de primos
Por lo tanto la descomposición de factores primos es única
Y queda demostrado el teorema
Saludoss