Question

Cual es la Respuesta? Explican cómo es el procedimiento para saber cómo se hace ese tipo de ejercicio

Answer 1

Respuesta:

B) $2$

Explicación paso a paso:

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x)=x^3-5$ por ser una función biyectiva tiene inversa, en efecto

$f$ es inyectiva:

$f(x_1)=f(x_2)\Leftrightarrow x_1^3-5=x_2^2-5\Leftrightarrow x_1^3=x_2^3$

                                                    $\Leftrightarrow x_1^3-x_2^3=0$

                                                    $\Leftrightarrow (x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)=0$

                                                    $\Leftrightarrow x_1=x_2$

$f$ es sobreyectiva (Implícitamente estamos hallando la inversa de la función)

Sea $z \in \mathbb{R}$ debemos determinar $x \in \mathbb{R}$ tal que $f(x)=z$ es decir

$f(x)=x^3-5=z\Leftrightarrow x^3=z+5\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{z+5}$, de donde tomando $x=\sqrt[3]{z+5}$ se sigue

                   $f(x)=f(\sqrt[3]{z+5})=(\sqrt[3]{z+5})^3-5=(z+5)-5=z$

Por tanto

                                                 $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+5}$

En nuestro caso, tenemos:

 $f^{-1}(3)=\sqrt[3]{3+5}=\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2$