Las coordenadas de uno de los extremos de un
segmento es el punto (1-3), halla las coordenadas
del otro extremo si el punto medio del segmento
tiene coordenadas (3,4) son:
A) (5, 11) B) (-5, -11) C)(-1,-10) D) (5,1)
Respuestas
Respuesta:
Explicación paso a paso:
76. Sea O un punto arbitrario en el interior de un tri´angulo equil´atero T. Si P, Q, R son los
pies de las perpendiculares desde O a cada uno de los lados del tri´angulo, prueba que la
suma de las longitudes de los segmentos OP, OQ y OR es igual a la altura de T.
Soluci´on 1: Usamos la notaci´on [XY Z] para describir el ´area de un tri´angulo XY Z.
Denotamos con A, B y C los v´ertices del tri´angulo T, con OP = x, OQ = y y OR = z
las longitudes de los segmentos del enunciado y usamos h para la altura de T.
(a) Figura 1 (b) Figura 2
Desde la Figura 1, observamos que al unir el punto O con los v´ertices A, B y C, el tri´angulo
ABC se divide en tres cuya suma de ´areas coincide con el ´area de [ABC]:
[ABC] = [OBC] + [OCA] + [OAB].
Los tri´angulos interiores tienen alturas x, y, z sobre los lados BC, CA y AB respectivamente. Por tanto, si l y h son la longitud del lado del tri´angulo ABC y su altura, tenemos
que
l · h
2
=
l · x
2
+
l · y
2
+
l · z
2
.
Por tanto x + y + z = h, como quer´ıamos probar.
Soluci´on 2: Sin palabras. Concluye desde la Figura 2 donde los tri´angulos en el interior
de T, todos equil´ateros, aparecen al trazar paralelas a los lados de T. Al ser equil´ateros,
la altura desde cualquiera de sus v´erices es la misma. La imagen muestra de forma clara
la descomposici´on de la altura del grande usando las alturas de los peque˜nos y la longitud
x = OP.
77. Sean ABCD by DEF G los dos cuadrados que aparecen en la figura. Si AE = a y BF = x,
probar que x = a
√
2.
Soluci´on: Trazamos l´ıneas auxiliares con punto de intersecci´on P de modo que AEP B es
un paralelogramo. De este modo, BP = AE = a. Observamos que α = ∠GDC = ∠F EP
puesto que son ´angulos entre lados paralelos. Adem´as α = ∠EDA por ser ∠GDE y
∠CDA ´angulos rectos. Por otro lado, los tri´angulos F EP y EDA son iguales ya que
tienen dos lados de igual longitud y el ´angulo comprendido entre ellos es el mismo. Por
tanto, F P = a y ∠DAE = ∠F P E. Los ´angulos opuestos del paralelogramo AEP B son
iguales, ∠EP B = ∠EAB. Ahora tenemos que:
∠DAB = 90o = ∠DAE + ∠EAB = ∠F P E + ∠EP B.
Por tanto el tri´angulo F P B es is´osceles y rect´angulo en P, con hipotenusa de longitud x
y catetos de longitud a. Aplicamos Pit´agoras y tenemos que x
2 = 2a
2
, lo que prueba el
resultado.
78. La circunferencia inscrita en el tri´angulo ABC tiene centro I y es tangente a los lados
BC, CA y AB en los puntos X, Y, Z respectivamente. Las rectas BI y CI cortan a la
reta Y Z en los puntos P y Q respectivamente. Demostrar que si los segmentos XP y XQ
tienen la misma longitud, entonces el tri´angulo ABC es is´osceles.
(Olimpiada Iberoamericana 2001, Minas Uruguay, Problema 2)
Soluci´on: Observamos que I es el incentro de ABC, esto es, el punto de corte de las
bisectrices de este tri´angulo. La Figura 3 muestra una situaci´on particular de posici´on de
todos los puntos que se describen en el problema.
(a) Figura 3 (b) Figura 4
El tri´angulo AY Z es is´osceles (AY = AX) ya que los lados AC y AB son tangentes a la
circunferencia inscrita. La bisectriz, por el v´erice A, del tri´angulo ABC pasa por el punto
2
medio M del segmento Y Z y por I. Si imponemos que los segmentos XP y XQ sean de
igual longitud, tenemos que el tri´angulo P XQ es is´osceles,situaci´on que se muestra en la
Figura 4. En este caso, la altura de P XQ desde el v´ertice X es exactamente la bisectriz
de el ´angulo en X y pasa por el punto medio del segmento P Q que es exactamente M.
Por tanto, AI y XM son mediatrices del segmento P Q, de donde los puntos A, M, I, X
est´an alineados. Ahora AX = AI es perpendicular al segmento Y Z y AX = IX lo es
al lado BC, por tanto el segmento Y Z y el lado BC son paralelos, lo que prueba que el
tri´angulo ABC es is´osceles.
79. ¿Cu´ales son las posibles ´areas de un hex´agono convexo1
con todos los ´angulos iguales y
cuyos lados miden 1, 2, 3, 4, 5, 6 en alg´un orden? (Observa que los lados opuestas de un tal
hex´agono deben ser paralelos.)
(OME XXXIX, La Laguna, Problema 5)
Soluci´on 1: La suma de los ´angulos interiores de un pol´ıgono convexo de n lados es igual a
180(n−2) grados. En este caso n = 6 y todos los ´angulos interiores son iguales, luego cada
uno de los ´angulos de un tal hex´agono tiene una amplitud igual a 180(6−2)
6 = 120 grados.
Por otro lado, si apoyamos el hex´agono sobre uno cualquiera de sus lados, llam´emosle a, y
lo giramos 120 grados 3 veces, el hex´agono queda apoyado sobre el lado opuesto del a, lo
denotamos como d. Como el giro total es de 360 grados, el hex´agono ahora est´a apoyado
sobre d y el lado a aparece est´a en posici´on paralela a la que ocupaba inicialmente, luego
d y a son paralelos.
Denotamos los lados del hex´agono como a, b, c, d, e y f sabiendo que a+b+c+d+e+f = 21.
Apoyamos el hex´agono sobre el lado a y etiquetamos los lados como muestra la Figura 5: