Question

2. Se venden 23 baterías eléctricas por un total de $79.20. Si el tipo A cuenta $5.00; el tipo B, $2.80 y el C $1.60 por pieza ¿cuántas baterías de cada tipo se vendieron?

Answer 1

Respuesta:

Se vendiero 14 del tipo A

1 del tipo B

4 del tipo C

Explicación paso a paso:

$70 \div 5 = 14 \\ \\ \\ 1.60 \times 4 = 6.40 \\ \\ 2.80 \: del \: tipo \: b \\ \\ 70 + 6.40 + 2.80 = = 79.2$

Answer 2

Aclaración:

Este problema esta simplificado, realmente las incógnitas deberían ser números enteros, ya que estamos hablando de cantidades pero hacerlo de este modo complica el ejercicio y como el fin de este ejercicio es claramente resolver un sistema de ecuaciones lineales simplemente haremos eso.

Respuesta:

Tanto el rango de la matriz de coeficientes como de la ampliada es 2, pero el número de incógnitas es 3  por el teorema de Rouche-Frobenius es un sistema incompatible indeterminado con una variable, llamada z libre por lo tanto.

$x=6.73+0.54z$

$y=16.27-1.54z$

$z=z$

es decir la solución es S={(x,y,z)=(6.73+0.54z,16.27-1.54,z) z perteneciente a los reales)

Explicación paso a paso:

Lo resolveré con gauss-Jordán una forma de resolver el sistema de ecuaciones con Gauss-Jordán.  Para resolverlo con Gauss solo deje un nota :( si uso los dos supero los 5000 caracteres.

Planteamiento general

El problema plantea que hay 3 tipos de baterías, y que se venden 23 de ellas. Esto significa que:

Hay un x numero de baterías de tipo A

Hay un y numero de baterías de tipo B

Hay un z numero de batería de tipo C

que dichas cantidades da 23 es decir tendríamos la ecuación

$x+y+z=23$ (ecuación 1)

También dice que esas 23 baterías se vendieron por 79.20 y que una batería del tipo A cuesta 5.00, una del tipo B 2.80 y una del tipo C  cuesta 1.60.

Esto significa que

Se vendieron una x cantidad de baterías de tipo A por 5.00

Se vendieron una y cantidad de baterías de tipo B por 2.80

Se vendieron una x cantidad de baterías de tipo C por 1.60

y que la suma de dicha cantidades por los precios costo 79.20 se obtiene la ecuación

$5.00x+2.80y+1.60z=79.20$ (ecuación 2)

Ahora tenemos dos ecuaciones la ecuación 1 y 2, que están relacionadas por la incógnitas x, y, z esto significa que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones

$\left \{ {{x+y+z=23} \atop {5.00x+2.80y+1.60z=79.20}} \right.$

hacemos una tabla de con los coeficientes de la incógnitas y con los términos independientes que nos quedaría así

$\left[\begin{array}{cccccx}x&y&z&|&b\\1&1&1&|&23\\5.00&2.80&1.60&|&79.20\end{array}\right]$

Con gauss-Jordan tenemos que llevar esto a su forma escalonada reducida por reglones para lograr esto primero tenemos que hacer que el 5 de la fila 2 sea un cero para eso hacemos esto:

$F2<-F2-5F1$ es decir a la fila 2 le restaremos 5 veces la fila  1 y nos queda.

$\left[\begin{array}{ccccc}x&y&z&|&b\\1&1&1&|&23\\0&-2.20&-3.40&|&-35.80\end{array}\right]$

para simplificar las cuentas podemos multiplicar a toda la fila 2 por -1 así nos queda resultados positivos

$\left[\begin{array}{ccccc}x&y&z&|&b\\1&1&1&|&23\\0&2.20&3.40&|&35.80\end{array}\right]$

* si solo pueden usar gauss simplemente plantean un sistema de ecuaciones con lo de arriba y dejan todo en función de z, la respuesta sigue siendo la misma  :( si no supero los 5000 caracteres.

Ahora la y de la fila 1 debe ser 0 y la y de la fila 2 debe ser 1 uno

Para eso dividimos la fila 2 por 2.2 y nos queda

$\left[\begin{array}{ccccc}x&y&z&|&b\\1&1&1&|&23\\0&1&1.54&|&16.27\end{array}\right]$

para hace 0 la  y de la fila 1 hacemos f1-f2 y nos queda

$\left[\begin{array}{ccccc}x&y&z&|&b\\1&0&-0.54&|&6.73\\0&1&1.54&|&16.27\end{array}\right]$

nos queda lo siguiente

obtenemos que el Ra (que sería x y z) es 2, pues tiene 2 filas de no nulas, de igual manera el Rango de Ab (x y z b) es 2, pues tiene 2 filas no nulas y tenemos 3 incógnitas por el Teorema de Rouché–Frobenius es un sistema compatible indeterminado con una variable libre llamada  z.

plateando el siguiente sistema de ecuaciones

$\left \{ {{x-0.54z=6.73} \atop {y+1.54z=16.27}} \right.$

pero z es una variable libre, por lo tanto tenemos que poner a x e y en función de z y nos queda que

$x=6.73+0.54z$

$y=16.27-1.54z$

$z=z$

z pertenece a los reales