Question

Resuelve:
${ \frac{1}{2} x - 2y + \frac{1}{3}x = 0 \\ - 3x + 2y + \frac{1}{5} z = 0$
​

Answer 1

La ecuación paramétrica de la recta que da solución al sistema es:

$x =\dfrac{6t}{65}\\\\y=\dfrac{t}{26}\\\\z=t$

----------------------------------------------------------

Tenemos un sistema que a simple vista es indeterminado, porque tenemos solo dos ecuaciones y tres incógnitas, por lo que desde el inicio concluimos que no vamos a encontrar una solución única para esto.

Sabemos que las ecuaciones en un sistema de tres variables representan planos en el sistema cartesiano de tres dimensiones. Y que la intersección de dos planos es una recta. Como tenemos dos planos, la solución al sistema será la recta que denota su intersección.

Planteamos:

$\dfrac{1}{2}x-2y+\dfrac{1}{3}x=0\\\\-3x+2y+\dfrac{1}{5}z=0$

----------------------------

$\dfrac{5}{6}x-2y=0\\\\-3x+2y+\dfrac{1}{5}z=0$

----------------------------- Sumamos:

$-\dfrac{13}{6}x+\dfrac{1}{5}z=0$

$x=\dfrac{6z}{65}$

Sustituyendo en x en I:

$\dfrac{5}{6}\left(\dfrac{6z}{65}\right)-2y=0\\\\y=\dfrac{z}{26}$

La ecuación paramétrica de la recta que da solución a la ecuación será:

$x =\dfrac{6t}{65}\\\\y=\dfrac{t}{26}\\\\z=t$

Todos los puntos de esa recta satisfacen el sistema planteado. Se adjunta la gráfica de los dos planos y de la recta intersección que se encontró. Todos los puntos de la recta son soluciones del sistema.