Una fuerza dependiente del tiempo, F = (8iˆ − 4tˆj)N (donde t está en segundos), se aplica a un
objeto de 2 kg inicialmente en reposo. a) ¿En qué tiempo el objeto se moverá con una velocidad de
15 m/s? b) ¿A qué distancia está de su posición inicial cuando su velocidad es 15 m/s? c) ¿Cuál es la
posición del objeto en este tiempo?
Respuestas
Respuesta:
Explicación:
a) Tiempo en que se moverá con una velocidad de 15 m/s
Si calculamos la aceleración del cuerpo por medio de la 2da Ley de Newton
F = m*a
a = F / m
a = ( 8 i - 4t j ) / ( 2 kg )
a = ( 4 i - 2t j ) m/s^2 ⇒ aceleración del cuerpo
Sabemos que la aceleración instantánea es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo:
a(t) = dv(t) / dt
Para obtener la velocidad ⇒ integramos la expresión de aceleración
v(t) = ∫ a(t) dt
v(t) = ∫ ( 4 i - 2t j ) dt
v(t) = ( 4t i - t^2 j ) m/s ⇒ expresión de la velocidad
Calculando el módulo de la velocidad:
v(t) = √ [ (4t)^2 + ( - t^2)^2 ]
v(t) = √ ( 16t^2 + t^4 )
Si v(t) = 15 m/s
15 = √ ( 16t^2 + t^4 )
(15)^2 = (16t^2 + t^4)
t^4 + 16t^2 - 225 = 0
Al resolver la ecuación ⇒ t = 3 s (tiempo en que el móvil llegará a los 15 m/s)
b) Distancia desde la posición inicial cuando su velocidad es de 15 m/s
v(t)(t) = dx(t) / dt ⇒ la velocidad con respecto al tiempo es igual a la derivada de la posición con respecto al tiempo
x(t) = ∫ v(t) dt
x(t) = ∫ ( 4t i - t^2 j ) dt
x(t) = [ 2t^2 i - ( t^3 / 3 ) j ] m
La posición para t = 3 s
x(3) = [ 2(3)^2 i - (3)^3 / 3 j ] m
x(3) = [ 2*9 i - 3^2 j ] m
x(3) = ( 18 i - 9 j ) m ⇒ vector de posición para t = 3 s
El desplazamiento será:
| x(3) | = √ [ (18)^2 + (- 9)^2 ]
| x(3) | = √ (324 + 81)
| x(3) | = √ (405)
| x(3) | = 20,12 m ⇒ distancia recorrida para t = 3 s