Question

Un bote describe una circunferencia alrededor de una boya fija. El ángulo que
forman las visuales del bote a la boya desde los extremos de un arco de 1.5 millas
es de 110°. Halle la distancia del bote a la boya.

Answer 1

La distancia del bote a la boya es de aproximadamente 0,781 millas

Procedimiento:

En algunas ocasiones en vez de conocer la longitud total de una circunferencia necesitamos saber o nos dan como dato para la resolución de un problema sólo una parte de ella, es decir la longitud de un arco de circunferencia.

Vamos a recordar la fórmula para hallar la longitud de la circunferencia, pues nos servirá para una mejor comprensión del problema.

$\boxed{ \bold{ Longitud ' de \ la \ Circunferencia \ (C) = 2 \ . \ \pi \ . \ r}}$

Donde π es una constante y r es el radio de la circunferencia - el cual es cualquier segmento que une el centro a cualquier punto de la circunferencia

Sobre el Arco de una Circunferencia

La longitud de arco en una circunferencia conociendo el radio (r) y el ángulo α que forman los dos radios está dada por el producto del valor del radio y del ángulo central α

$\boxed{ \bold{ Longitud \ Arco \ Circunferencia \ (S) = r \ . \ \alpha }}$

Esta fórmula se emplea cuando el ángulo central α está expresado en radianes

El cual no es nuestro caso ya que el valor del ángulo está expresado en grados

Cuando el ángulo está expresado en grados debemos considerar que un ángulo de 360° equivale a 2π radianes, por lo tanto la longitud del arco de la circunferencia equivale a el producto de la longitud de la circunferencia por el valor del ángulo central α dividido entre 360°

$\boxed{ \bold{ Longitud \ Arco \ Circunferencia \ (S) = \frac{Longitud \ Circunferencia \ . \ \alpha }{360\°} }}$

Como la longitud de la circunferencia está dada por

$\boxed{ \bold{ Longitud ' de \ la \ Circunferencia \ (C) = 2 \ . \ \pi \ . \ r}}$

Sustituimos la longitud de la circunferencia por 2 · π · r

$\boxed{ \bold{ Longitud \ Arco \ Circunferencia \ (S) = \frac{ 2 \ . \ \pi \ . \ r \ . \ \alpha }{360\°} }}$

Esta será la fórmula que emplearemos para resolver el problema

Solución:

Nos dicen que un bote describe una circunferencia alrededor de una boya fija. Donde el ángulo que forman las visuales del bote a la boya desde los extremos de un arco de circunferencia de 1,5 millas es de 110°

Se pide hallar la distancia del bote a la boya

Luego para este problema la boya fija está ubicada en el centro de la circunferencia, y donde conocemos la longitud de arco que forman las visuales del bote hasta la boya, como asimismo sabemos el valor del ángulo central de 110°

La distancia del bote a la boya está dada por el radio, luego si hallamos el radio encontraremos la distancia buscada

Emplearemos la  fórmula

$\boxed{ \bold{ Longitud \ Arco \ Circunferencia \ (S) = \frac{ 2 \ . \ \pi \ . \ r \ . \ \alpha }{360\°} }}$

Donde reemplazaremos los datos dados y despejaremos el radio

Quitamos las unidades para facilitar la situación

$\boxed{ \bold{ 1,5 = \frac{ 2 \ . \ \pi \ . \ r \ . \ 110\° }{360\°} }}$

$\boxed{ \bold{ \frac{ 2 \ . \ \pi \ . \ r \ . \ 110\° }{360\°} = 1,5 }}$

Factorizando

$\boxed{ \bold{ \frac{ 2 \ ( \ \pi \ . \ r \ . \ 110\° ) }{ 2 \ . \ 180\°} = 1,5 }}$

Cancelamos el factor común

$\boxed{ \bold{ \frac{ \ \pi \ . \ r \ . \ 110 }{ 180} = 1,5 }}$

Factorizando

$\boxed{ \bold{ \frac{ 10\ ( \ \pi \ . \ r \ . \ 11 ) }{10\ (18)} = 1,5 }}$

Cancelamos el factor común

$\boxed{ \bold{ \frac{ \ \pi \ . \ r \ . \ 11 }{ 18} = 1,5 }}$

$\boxed{ \bold{ r= \frac{ 18 }{ 11\ \pi } \ . \ 1,5 }}$

$\boxed{ \bold{ r= \frac{ 27 }{ 11\ \pi } }}$

$\boxed{ \bold{ r \approx 0,781306 \ millas } }}$

$\boxed{ \bold{ r \approx 0,781 \ millas } }}$