Question

b. Rayos X de 0.24 nm son dispersados (Compton) y se observa el rayo dispersado a 60° relativos al rayo incidente. Encontrar: • La longitud de onda de los rayos X dispersados • Energía de los fotones dispersados • Energía cinética de los electrones dispersados • Ángulo de dispersión de los electrones.

Answer 1

La longitud de onda de los rayos X dispersados es 0,2412nm, los fotones dispersados quedan con 5144eV de energía, los electrones reciben 25,7eV de energía cinética y se dispersan 60,3° respecto del rayo incidente.

Explicación:

Si los rayos X se dispersan 60°, el cambio en la longitud de onda es:

$\Delta \lambda=\frac{h}{m_e.c}(1-cos(\theta))=\frac{6,626\times 10^{-34}Js}{9,11\times 10^{-31}kg.3\times 10^{8}m/s}(1-cos(60\°))\\\\\Delta \lambda=1,21pm=0,00121nm$

Con lo cual la longitud de onda de los rayos X dispersados es:

$\lambda=240pm+1,21pm=241,2pm=0,2412nm$

La energía de los fotones dispersados sigue la relación de Einstein:

$E=h\frac{c}{\lambda}=6,626\times 10^{-34}Js\frac{3\times 10^{8}m/s}{2,412\times 10^{-10}m}\\\\E=8,24\times 10^{-16}J\\\\E=5144eV$

Al aumentar la longitud de onda la radiación cede al electron parte de su energía la que se transforma en energía cinética para el electrón, esta resulta:

$E_c=hc(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda'})=6,626\times 10^{-34}.3\times 10^8(\frac{1}{2,4\times 10^{-10}m}-\frac{1}{2,412\times 10^{-10}m})\\\\E_c=4,12\times 10^{-18}J\\\\E_c=25,7eV$

El ángulo de dispersión de los electrones lo sacamos de la conservación del momento lineal:

$\frac{h}{\lambda'}.sen(\theta)=p.sen(\psi)\\\\p=m_e.v\\\\v=\sqrt{\frac{2E_c}{m}}=\sqrt{\frac{2.4,12\times 10^{-18}J}{2.9,11\times 10^{-31}kg}}=3\times 10^{6}\frac{m}{s}\\\\p=9,11\times 10^{-31}kg.3\times 10^6m/s=2,74\times 10^{-24}\frac{kgm}{s}$

Teniendo los datos despejamos el ángulo de dispersión de los electrones $\psi$:

$\frac{h}{p.\lambda'}.sen(\theta)=sen(\psi)\\\\\psi=sen^{-1}(\frac{6,626\times 10^{-34}Js}{2,74\times 10^{-24}.2,412\times 10^{-10}m}.sen(60\°))\\\\\psi=60,3\°$