Respuestas
La razón más simple es que infinito no es un número, es una idea. Así que 1/∞ es un poco como decir 1/belleza o 1/alto.
A lo mejor podríamos decir que 1/∞ = 0 ... pero eso es un poco problemático, porque si dividimos 1 en infinitas partes y resulta que cada una es 0, ¿qué ha pasado con el 1?
De hecho 1/∞ es indefinido.
¡Pero podemos acercarnos a él!Así que en lugar de intentar calcular con infinito (porque no sacaremos ninguna respuesta razonable), vamos a probar con valores de x más y más grandes:
x1/x11.0000020.5000040.25000100.100001000.010001,0000.0010010,0000.00010Vemos que cuando x crece, 1/x tiende a 0
Ahora tenemos una situación interesante:
No podemos decir qué pasa cuando x llega a infinitoPero vemos que 1/x va hacia 0Queremos decir que la respuesta es "0" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a esto
El límite de 1/x cuando x tiende a infinito es 0
Y lo escribimos así:
En otras palabras:
Cuando x va a infinito, 1/x va a 0
Cuando veas "límite", piensa en "acercarse"
Es una manera matemática de decir que "no estamos hablando de lo que pasa cuando x=∞, pero sabemos que cuando x crece, la respuesta se acerca más y más a 0".
ResumenA veces podemos no usar infinito directamente, pero sí podemos usar un límite.
Lo que pasa en ∞ es indefinido...1/∞ ... pero sabemos que 1/x va hacia 0 cuando x va hacia infinitoLímites al ir a infinito¿Cuál es el límite de esta función?
y = 2x
Está claro que cuando "x" se hace más grande, le pasa lo mismo a "2x":
xy=2x1224481020100200......Así que cuando "x" va a infinito, "2x" también va a infinito. Lo escribimos así:
Pero no te dejes engañar por el signo "=". No podemos llegar a infinito, pero en el lenguaje de los "límites", el límite es infinito (lo que quiere decir en realidad que la función no tiene límite).Infinito y gradoHemos visto dos ejemplos, uno va a 0, el otro a infinito.
De hecho muchos límites en el infinito son muy fáciles de calcular, si consigues saber "hacia dónde van", así:
Las funciones como 1/x van hacia 0 cuando x va hacia infinito. Esto pasa también con 1/x2 etc. Una función como 2x va hacia infinito, porque tiene "x" dentro.Igualmente, funciones como x2 o x3 también van hacia infinito Pero ten cuidado, una función como "-x" va hacia "-infinito", así que hay que fijarse en los signos.De hecho, si miramos el grado de la función (el mayor exponente (o potencia) en la función) podemos saber qué va a pasar. Si el grado es:mayor que 0, el límite es infinito (o -infinito)menor que 0, el límite es 0 Pero si el grado es 0 o desconocido entonces tenemos que trabajar más para calcular el límiteFunciones racionalesUna función racional es el cociente de dos polinomios: Por ejemplo, aquí tenemos P(x)=x3+2x-1, y Q(x)=6x2:Siguiendo con nuestra idea del grado de una función, el primer paso para calcular el límite es ...
Comparar el grado de P(x) con el grado de Q(x): Si el grado de P es menor que el grado de Q ...... el límite es 0. Si el grado de P y de Q son iguales ...... divide los coeficientes de los términos del grado más grande, así:
Si el grado de P es mayor que el grado de Q ...... entonces el límite es infinito positivo ... ... o quizás infinito negativo. ¡Tienes que mirar los signos!Puedes calcular el signo (positivo o negativo) mirando los signos de los términos de máximo exponente, como hicimos arriba:
Por ejemplo esta va a infinito positivo, porque los dos ...x3 (el término de mayor exponente arriba) y6x2 (el término de mayor exponente abajo)... son positivos. Pero esta va hacia infinito negativo, porque -2/5 es negativo.Un ejemplo más difícil: Calcular "e"Hay una fórmula para el valor de e (el número de Euler) que se basa en infinito y en esta fórmula:
(1+ 1/n)n
En el infinito:(1+1/∞)∞ = ??? ... ¡no lo sabemos!
Así que en vez de intentar calcularlo para infinito (porque no llegaremos a ninguna respuesta razonable), probemos valores de n más y más grandes:
n(1 + 1/n)n12.0000022.2500052.48832102.593741002.704811,0002.7169210,0002.71815100,0002.71827Se estabiliza en un valor (2.71828... que es el número mágico e)
Así que tenemos aquí otra situación extraña:
No sabemos cuál es el valor cuando n=infinitoPero vemos que va hacia 2.71828...Así que escribimos la respuesta con límites:
Es una manera matemática de decir "no estamos hablando de lo que pasa cuando n=∞, pero sabemos que cuando n crece, la respuesta se acerca más y más al valor de e".
¡No te equivoques al escribirlo... !Puedes ver en el gráfico y la tabla que cuando n crece la función se acerca a2.71828....¡Pero al intentar usar infinito como si fuera un "número real muy grande" (¡no lo es!) sale esto:(1+1/∞)∞ = (1+0)∞ = (1)∞ = 1 Así que no hagas operaciones con infinito como si fuera un número real, ¡te saldránrespuestas equivocadas!Los límites son la manera correcta de hacerlo.Evaluar límitesHe intentando enseñarte los límites de una manera fácil, y enseñarte tablas y gráficos para que veas lo que pasa.
Pero "evaluar" (es decir calcular) el valor de un límite es algo que puede costar más. Te lo explico enevaluación de límites.
1. Si el grado del numerador es menor que el del denominador, el limite de la función racional es 0.
2. Si el grado del numerador es igual que el del denominador, el limite de la función racional es el cociente de los coeficientes dominantes.
3. Si el grado del numerador es mayor que el del denominador, el limite de la f(x) racional no existe.
Lim de x-> inf = C/ x^n =0 C es un numero cualquiera sin variable