Question

Holaa, pueden ayudarme con esta ecuación:

Hallar todas las soluciones de 21x ≡ 5 (mod 48)

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

Recordemos lo siguiente:

Sean a,b ∈ Z, n ∈ N  y sea d= (a,n)

1. La ecuación  ax ≡ b (mod n) tiene solución ⇔ d║b

2. Ahora,  las soluciones de la ecuación son equivalentes a los de:  ax/d ≡ b/d (mod n/d)

3. Las soluciones serán de la forma X= X₀ + Km     k ∈ Z

También vamos a usar el siguiente lema:

Sean a, m, a ∈ Z y m ∈ N coprimos:

∃ c ∈ Z:  ac ≡ 1(mod m).  Y mas aun, c es unico modulo m

Parece todo raro, pero con el ejercicio se va aclarar todo:

21x ≡ 12 (mod 48)

Vamos a empezar por ver si la ecuación tiene solución:

Vemos que   (21,48)= 3    y   3║12.  Por lo tanto hay solución

Ahora por el punto 2, tenemos que:

21x/ 3 ≡ 12/3 (mod 48/3)

7x ≡ 4 (mod 16)

Ahora fijemos nuestra ecuación como

7c ≡4 (mod 16)

Por el Lema que mencionamos, va a existir un c tal que:

7c ≡ 1 (mod 16)

Debemos buscar un numero "c" que al multiplicarlo por 7 sea congruente con 1 mod 16, ese numero es 7

7*7= 49 y 49≡ 1 ( mod 16)   ya que  49= 16*3 + 1

Por lo tanto volviendo:

7c ≡ 4 (mod 16)

7*7c≡ 7*4 (mod 16)

c≡ 28 (mod 16)

c ≡ 12 (mod 16)

Por el punto 3, tenemos que:

X= 12 + 16k,      k ∈ Z

Saludoss