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Respuesta:
Explicación paso a paso:
Criterios de semejanza de triángulos
Caso 1. Si tiene dos ángulos respectivamente iguales.
Si m ∠ A = m ∠ A ′ y m ∠ B = m ∠ B ′ , entonces Δ A B C ∼ Δ A ′ B ′ C ′ .
Caso 2. Si tiene dos lados proporcionales y el ángulo comprendido es igual.
Si m ∠ C = m ∠ C ′ y B C ‾ B ′ C ′ ‾ = C A ‾ C ′ A ′ ‾ , entonces Δ A B C ∼ Δ A ′ B ′ C ′ .
Caso 3. Si tiene sus tres lados proporcionales.
Si A B ‾ A ′ B ′ ‾ = B C ‾ B ′ C ′ ‾ = C A ‾ C ′ A ′ ‾ , entonces Δ A B C ∼ Δ A ′ B ′ C ′ .
Ejemplos
1. En los siguientes triángulos, si m ∠ A = m ∠ A ′ y m ∠ B = m ∠ B ′ , halle b 1 y c 1 .
Se cumple el caso 1, entonces los triángulos son semejantes y se puede determinar b1 y c1.
En Δ A ′ B ′ C ′ el lado c1 corresponde al lado de longitud 4 en Δ ABC.
En Δ A ′ B ′ C ′ el lado b1 corresponde al lado de longitud 3 en Δ ABC.
En Δ A ′ B ′ C ′ el lado de longitud 10 corresponde al lado de longitud 5 en Δ ABC.
Por lo tanto, se tiene la relación:
c 1 4 = b 1 3 = 10 5 = 2
de donde se tienen la ecuaciones básicas:
c 1 4 = 2 ⇒ c 1 = 8 y b 1 3 = 2 ⇒ b 1 = 6
2. Dados los siguientes triángulos, son semejantes?:
Calculamos las proporciones:
21 7 = 3 , 15 5 = 3 , 27 9 = 3
las razones correspondientes son iguales, por lo tanto tenemos el caso 3 y se tiene:
Δ A B C ∼ Δ A ′ B ′ C ′ .
3. Dado que AB es paralelo a DE y los segmentos AE y BD se intersectan en el punto C, determine si los triángulos ABC y CDE son semejantes y si los son halle la longitud del lado AC.
Los dos triángulos son rectángulos, por lo tanto tienen un ángulo correspondiente que son de igual medida, los ángulos α y β son opuestos por el vértice, por lo tanto son de igual medida y se cumple el caso 1 y por lo tanto se cumple:
A B ‾ D E ‾ = A C ‾ 12 = 15 10 ⇒ A C ‾ 12 = 15 10
y resolviendo para
A C ‾ = 15 × 12 10 = 18