Question

1. El último mensaje emitido por un avión de reconocimiento con quien se perdió todo contacto indicaba que se hallaba a 250 km del punto de partida y a 350 km del punto donde debía llegar. ¿Cuáles son las coordenadas del sitio desde donde envió su señal, si el avión se desplaza en línea recta y los lugares de partida y llegada se ubican en (−2,4) y (8,5).

podrian justificar la respuesta por favor ;-;

Answer 1

El punto de ubicación  del avión sera el punto ( -299697/101, - 59901/202)

Como el avión se desplaza en linea recta: entonces tenemos que: debe pasar por la recta que une el punto de partida y  el punto de llegada, es decir: (−2,4) y (8,5).

La pendiente de la recta: que pasa por los puntos (x1,y1) y (x2,y1) es:

m = (y2 - y1)/(x2- x1)

m = (5 - 4)/(8 + 2) = 1/10

La ecuación de la recta sera:

y - y2 = m*(x - x2)

y - 5 = 1/10*(x - 8)

y - 5 = 1/10*x - 4/5

y = 1/10*x - 4/5 + 5

y = 1/10*x +  (-4 + 25)/5

1. y = 1/10*x + 21/5

La distancia entre dos puntos (x1,y1) y (x2,y2) esta dada por:

d² = (x1 - x2)² + (y1 - y2)²

Sea (x,y) el punto donde se encuentra: desde el punto de partida (-2,4) esta a 250 km

250² = (-2-x)² + (4 - y)²

62500 = (-2-x)² + (4 - y)²

62500= 4 + 4x + x² + 16 - 8y + y²

62500 = 20 + 4x + x² - 8y + y²

2. 62480 = 4x + x² - 8y + y²

Esta a 350 km desde su punto de destino (8,5)

350² =  (8-x)² + (5 - y)²

122500= (8-x)² + (5 - y)²

122500 = 64 - 16x + x² + 25 - 10y + y²

122500 = 89 - 16x + x² - 10y + y²

3. 122411 = - 16x + x² - 10y + y ²

Resto la ecuación 3 con la ecuación 2 (3 - 2)

122411 - 62480 = - 16x + x² - 10y + y ² - (4x + x² - 8y + y²)

4. 59931 = - 20x - 2y

Sustituyo la ecuación 1 en la ecuación 4:

59931 = - 20x - 2*(1/10*x + 21/5)

59931 = -20x - 1/5*x - 42/5

59931 + 42/5 = (-100x - x)/5

(299655 + 42)/5 = - 101x/5

299697 = - 101x

x = -299697/101

Sustituyo en la ecuación 1:

y = 1/10*-299697/101 + 21/5 = - 299697/1010 + 21/5

y = (-299697 + 4242)/1010 = - 295455/1010 = - 59901/202

El punto de ubicación es: ( -299697/101, - 59901/202)

Answer 2

Las coordenadas del sitio desde donde envió su última señal el avión son: (13/6, 53/12)

Explicación paso a paso:

Llamemos    P   al punto que divide al segmento AB en la razón dada y A (x₁, y₁) B (x₂, y₂).

Razón = r = AP/PB es decir, la razón en que el punto P divide el segmento AB es la razón entre las longitudes de los segmentos AP y PB. De aquí se deduce la fórmula:

$\bold{r~=~\dfrac{x_{P}~-~x_{1}}{x_{2}~-~x_{P}}}$

En el caso estudio,

A  =  (-2, 4)                B  =  (8, 5)                    r  =  250/350  =  5/7

De la fórmula podemos despejar xP

$\bold{x_{P}~=~\dfrac{r\cdot x_{2}~+~x_{1}}{1~+~r}~=~\dfrac{(\dfrac{5}{7})\cdot(8)~+~(-2)}{1~+~(\dfrac{5}{7})}~=~\dfrac{13}{6}}$

Para hallar yP construimos la ecuación de la recta usando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

$\bold{(y~-~y_{1})~=~\dfrac{y_{2}~-~y_{1}}{x_{2}~-~x_{1}}(x~-~x_{1})}$

$\bold{(y~-~4)~=~\dfrac{5~-~4}{8~-~(-2)}[x~-~(-2)] \qquad \Rightarrow \qquad 10y~=~x~+~42}$

$\bold{10y_{P}~=~x_{P}~+~42\qquad\Rightarrow\qquad 10y_{P}~=~(\dfrac{13}{6})~+~42\qquad\Rightarrow\qquad y_{P}~=~\dfrac{53}{12}}$

Las coordenadas del sitio desde donde envió su última señal el avión son: (13/6, 53/12)

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