Question

Un rey le dijo a un caballero: "Puedes tomar hoy una moneda de oro, mañana 2
monedas, pasado mañana 4 monedas y así sucesivamente, cada día puedes tomar el doble de
monedas de las que tomaste el día anterior hasta que llenes esta mochila con las monedas que día
a día irás depositando" y le entregó dicha mochila. Suponiendo que cada moneda de oro pesa 2
gramos y que la mochila tiene una capacidad máxima de carga de (Z)kg. Responda las siguientes
preguntas.

Answer 1

Si la pregunta es que cuántas monedas podrá almacenar, la resolución sería la siguiente:

Se trata de una progresión exponencial, en la que el número de monedas es igual a 1·$2^{N-1}$, donde N es el día en el que nos encontramos.

Como cada moneda pesa 2gr, el peso que acumularemos será 2·$2^{N-1}$, en gramos.

Y como la mochila tiene una capacidad de Z kg, pasado a gramos tendremos 1000Z de capacidad.

Planteándolo como una igualdad, tendremos lo siguiente:
1000Z = 2·$2^{N-1}$

Esto presenta el problema de tener una incógnita en un exponente, pero gracias a las propiedades de los logaritmos, de que un exponente dentro de un logaritmo puede extraerse y dejarlo multiplicando a la base de dicha potencia, podremos simplificar del siguiente modo:
1000Z = 2·$2^{N-1}$

500Z = $2^{N-1}$

Log 500Z = Log$2^{N-1}$

Log 500Z = (N-1)·Log 2

Log 500Z / Log 2 = N-1

(Log 500Z / Log 2) +1 = N

De este modo, asignando un valor a la Z, podremos despejar N, y si tenemos la N, podemos volver a la primera fórmula para hallar cuántas monedas tenemos.