Question

4. Un topógrafo es contratado por la curaduría urbana para

determinar la altura de un edificio, ya que se cree que al

momento de terminada la construcción, se superó el límite de

95 metros especificado en los planos que fueron aprobados

por la curaduría. De ser así la constructora deberá pagar de

multa 550 millones de pesos. El topógrafo ubica sus equipos

como se muestra en la figura. ¿Cuál será la altura final del

edificio? ¿Deberá paga la constructora la multa? Tener en cuenta

la altura del teodolito que es de 1.80 metros.

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Answer 1

La altura del edificio es de aproximadamente 94,10 metros. Por lo tanto se encuentra por debajo del límite de 95 metros especificado en los planos. Luego la empresa constructora no debe pagar multa alguna

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Se resolverá el problema de este modo

Dado que mirando hacia la parte más alta del edificio para hallar su altura se encuentra un topógrafo como observador y este está ubicado sobre la línea del suelo

La visual del observador se halla a 1,80 metros por encima del plano del piso o del suelo

Por tanto, el ángulo de elevación dado por enunciado está por encima del nivel del suelo

Luego se ha trazado un línea paralela al suelo que está a la altura de los ojos del observador, por lo tanto se hallará primero una porción de la altura del edificio

Y una vez calculada esta porción, se le sumará la altura del teodolito que el topógrafo usa para determinar la altura total del edificio

Representamos la situación en un imaginario triángulo rectángulo MNP el cual está conformado por el lado PN que equivale a una porción de la altura del edificio, el lado PM que representa la distancia del topógrafo al edificio y el lado MN que es la proyección visual del topógrafo munido de su equipo hasta la parte más alta del edificio al cual observa con un ángulo de elevación de 40°

Donde se pide hallar la altura del edificio, y determinar si la empresa constructora debe pagar una multa o no

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo y resolución del ejercicio.

Conocemos la distancia del topógrafo al edificio y de un ángulo de elevación de 40°

Distancia del topógrafo el edificio = 110 metros

Ángulo de elevación = 40°

Altura del teodolito = 1,80 metros

Debemos hallar la altura (h) del edificio

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (lado PN) y el cateto adyacente (lado PM)

Como sabemos el valor del cateto adyacente (lado PM = distancia del topógrafo al edificio), asimismo conocemos un ángulo de elevación de 40° y nos piden hallar la altura final del edificio, podemos relacionar los datos que tenemos con la tangente del ángulo α

Planteamos

$\boxed { \bold { tan(40)\° = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } = \frac{NP}{MP} }}$

$\boxed { \bold { tan(40)\° = \frac{\ porci\'on \ altura \ edificio }{ distancia \ edificio \ a \ top\'ografo } = \frac{NP}{MP} }}$

$\boxed { \bold { porci\'on \ altura \ edificio = distancia \ edificio \ a \ top\'ografo \ . \ tan(40)\° }}$

$\boxed { \bold { porci\'on \ altura \ edificio = 110 \ metros \ . \ tan(40)\° }}$

$\boxed { \bold { porci\'on \ altura \ edificio = 110 \ metros \ . \ 0,8390996311772 }}$

$\boxed { \bold { porci\'on \ altura \ edificio \approx 92,30095 \ metros }}$

$\boxed { \bold { porci\'on \ altura \ edificio \approx 92,30 \ metros }}$

La porción de altura del edificio desde la visual del topógrafo es de aproximadamente 92,30 metros

Para obtener la altura total del edificio (h) le sumamos a la porción hallada en el paso anterior la altura del teodolito

$\boxed { \bold { Altura \ Edificio = Porci\'on \ altura \ edificio \ + \ Altura \ Teodolito}}$

Remplazamos valores

$\boxed { \bold { Altura \ Edificio = 92,30 \ metros \ + \ 1,80 \ metros }}$

$\boxed { \bold { Altura \ Edificio = 94,10 \ metros }}$

La altura del edificio es de aproximadamente 94,10 metros

Por lo tanto la constructora no debe pagar multa alguna