Question

una urna contiene n bolas blancas y m negras. donde n y m son números positivos
a) si se retiran dos bolas al azar ¿ cuál es la probabilidad de que sean del mismo color?
b si una bola es retirada al azar y luego es reemplazada antes que se saque la segunda ¿ cual es la probabilidad de que las bolas retiradas sean del mismo color?
demostrar porque la probabilidad es mayor en la parte b que en la parte a ​

Answer 1

Respuesta:

a) es la probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda también, multiplicada por la probabilidad de que la primera sea negra y la segunda también. Da lo mismo que se saquen simultáneamente; no por ello las probabilidades son distintas del caso en que se sacan sucesivamente.

Después de la primera extracción, en la siguiente hay una bola menos que sea del color de la primera; de ahí que disminuya tanto el numerador como el denominador en una unidad.

$p_a=\frac{n}{n+m} \times \frac{n-1}{n + m - 1} + \frac{m}{n+m} \times \frac{m-1}{n + m - 1}$

$=\frac{n(n-1)+m(m-1)}{(n+m)(n+m-1)}$

b) Este caso es similar al anterior pero no se resta una unidad puesto que se repone la bola.

$p_b=\frac{n}{n+m} \times \frac{n}{n + m} + \frac{m}{n+m} \times \frac{m}{n + m}$

$=\frac{n^2+m^2}{(n+m)^2}$

Ahora voy a demostrar que la probabilidad en la parte b es mayor que en la parte a:

$p_a = \frac{n^2-n+m^2-m}{(n+m)^2-(n+m)}$

$= \frac{n^2+m^2-(n+m)}{(n+m)^2-(n+m)}$

Sabemos que las probabilidades siempre están comprendidas entre 0 y 1; por tanto

$p_b = \frac{n^2 + m^2}{(n+m)^2} \quad \text{es una fracci\'on propia.}$

Si a una fracción propia le restamos una misma cantidad al numerador y al denominador, obtenemos una fracción menor, pues el numerador resulta proporcionalmente más disminuido que el denominador.

Por tanto:

$p_b>p_a$