Establece si la función f(x) es derivable en x=3. Usa la definición
[ χ² - 9; si x < 3
f(x)=[ √x-3 ; si x ≥ 3
Los das llaves forman una sola
Ayudaaa porfavor dare 5 estrellas y corona
Respuestas
Respuesta:
Definición. Recta tangente. 107 7.2 Reglas de derivación 109 7.3 Teorema del valor medio 111 7.4 Consecuencias del teorema del valor medio 113 7.5 Derivadas de orden superior 115 7.6 Concavidad y convexidad 116 7.7 Algunas aplicaciones de la derivada 117 7.8 Derivación
numérica 120 7.9 Ejercicios 121 7.10 Ejercicios complementarios 125
7.11 Otros ejercicios 129
7.1 Definición. Recta tangente.
Definición 7.1. Una función f : A ⊂ R → R es derivable en a ∈ A ∩ A
0
si existe
lim
x→a
f(x) − f(a)
x − a
A dicho límite lo notaremos f
0
(a). A la función a 7→ f
0
(a) la llamaremos función
derivada de f y la notaremos f
0
.
Observación 7.2.
a) El cociente incremental f(x)−f(a)
x−a
y la derivada se pueden ver también como un límite
en cero haciendo un cambio de variable:
f
0
(a) = lim
h→0
f(a + h) − f(a)
h
.
b) La restricción de que a sea un punto de acumulación del dominio de la función (a ∈ A∩
A
0
) es obligatoria si queremos que el cociente incremental tenga sentido y no estemos
dividiendo por cero. Recuerda que en el caso de que el conjunto A sea un intervalo se
cumple que A
0 = A con lo que podemos estudiar la derivabilidad en cualquier punto
del intervalo.
Ejemplo 7.3. La función f(x) = x
2
es derivable. Su derivada en un punto a es, según la
Definicion:
f
0
(a) = lim
x→a
f(x) − f(a)
x − a
= lim
x→a
x
2 − a
2
x − a
= lim
x→a
(x + a)(x − a)
x − a
= 2a.
Obtenemos así la fórmula usual de la derivada de f(x) = x
2
, esto es, que f
0
(x) = 2x.
La condición de ser derivable es más fuerte que la de ser continua
Explicación paso a paso:
Coronita =)
f
0
(a) = lim
x→a
f(x) − f(a)
x − a
= lim
x→a
x
2 − a
2
x − a
= lim
x→a
(x + a)(x − a)
x − a
= 2a.
Obtenemos así la fórmula usual de la derivada de f(x) = x
2
, esto es, que f
0
(x) = 2x.
La condición de ser derivable es más fuerte que la de ser continua
[ √x-3 ; si x ≥ 3