Question

Diseñe una caja rectangular sin tapa de 80 cm de largo por 44cm de ancho. El volumen debe ser el máximo.

Answer 1

Se cortan en las cuatro esquinas cuadrados de lado x

Se forma un prisma rectangular

Su volumen es: V = x (80 - 2 x) (44 - 2 x); queda como una función de x

Su dominio es 0 ≤ x ≤ 22; valores para los que el volumen es nulo. Por lo tanto habrá un valor de x que maximice el volumen.

Si quitamos paréntesis resulta:

V = 4 x³ - 248 x² + 3520 x

La función pasa por un máximo en los puntos en que su derivada es cero

V ' = 12 x² - 496 x + 3520 = 0

Ecuación de segundo grado en x. Sus raíces son  aproximadamente:

x = 9,1; x = 32,23 que se desecha por estar fuera de dominio

Luego el volumen máximo es:

V = 9,1 (80 - 2 . 9,1) ( 44 - 2 . 9,1) = 14509 cm³

Adjunto gráfico de la función volumen y su valor máximo

Saludos Herminio