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CUADRATICA
En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como:
La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre .
Gráficas de funciones cuadráticas.
en donde a, b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0.
La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.
La derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral una función cúbica
Corte con el eje y
La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):
lo que resulta:
la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independiente de la función.
A este punto de la función también se lo conoce con Ordenada al Origen
Corte con el eje x
La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función:
se tiene que:
las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen, como es sabido, por la expresión:
.
Si la función no corta al eje x, la fórmula anterior no tiene solución (en los reales).
Determinar la ecuación conocidos tres puntos
Partiendo de la forma de la ecuación:
y conocidos tres puntos del plano xy por los que pasa una función polinómica de segundo grado:
se cumplira que:
con lo que tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, donde las incógnitas son: a, b y c, este sistema tendrá solución si el determinante de los coeficientes de las incógnitas es distinto de cero
Representando el sistema ordenado de forma convencional
Con lo que podemos calcular los valores de los coeficientes
Raíces
Las raíces ( o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que y = 0. Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x. Podemos ver a continuación que existen parábolas que cortan al eje x en:
Para poder calcular las raíces de cualquier función cuadrática calculamos f (x) = 0, entonces
ax² + bx +c = 0
Pero para resolver ax² + bx +c = 0 observamos que no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, ésta tiene la particularidad de poseer un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante. Entonces, para resolverla podemos hacer uso de la fórmula:
al resultado de la cuenta b2 - 4ac se lo llama discriminante de la ecuación, esta operación presenta distintas posibilidades:
Si b2 - 4ac > 0 tenemos dos soluciones posibles.
Si b2 - 4ac = 0 el resultado de la raíz será 0, con lo cual la ecuación tiene una sola solución real.
Si b2 - 4ac < 0 la raíz no puede resolverse, con lo cual la ecuación no tendrá solución real.
Entonces, si la ecuación esta completa ya sabemos como calcular las raíces (con la fórmula) y si la ecuación es incompleta solo basta despejar la variable x de la ecuación:
1er caso: ax2 + bx = 0
2do caso: ax2 + c = 0
Simetría
La parábola presenta simetría respecto a una cierta recta vertical. Es decir, si conocemos dos puntos del gráfico (x1, p) y (x2, p), el eje de simetría pasará por el punto medio entre estos, o sea
Vértice
El vértice de la parábola está ubicado sobre la recta de simetría, de modo que su coordenada x, que notaremos xv vale:
Conocida la coordenada x de un punto, su correspondiente coordenada y se calcula reemplazando el valor de x en la expresión de la función.
En el vértice se calcula el máximo ( o el mínimo) valor de la función de acuerdo a que la parábola tenga sus ramas para abajo o para arriba (lo veremos a continuación).
Si la parábola no tiene raíces el vértice se puede calcular utilizando los coeficientes de la función de la siguiente manera:
Explicación paso a paso: