Question

un proyectil se dispara con una velocidad inicial de 53 m/s. determinar el angulo de proyeccion necesario para que la altura maxima del proyectil sea igual a su alcance horizontal

Answer 1

$Hola~~~\mathbb{JAME} \\ \\ Nos~indica~que, para~que~sea~el~alcance~m\acute{a}ximo~del~proyectil~igual \\ a~su~alcance~horizontal~indiquemos~que~esa~igualdad~sea~un~''m''~ \\ como~lo~hize~en~el~archivo~adjunto, lo~cual~necesitamos~saber \\ el~tiempo~en~ese~alcance~y ~en~el~alcance~horizontal, para ~ello \\ usaremos~las~siguientes~f\acute{o}rmulas, y ~luego ~llegaremos~a~calcular~el \\ el~\acute{a}ngulo, veamos: \\ \\ \bigstar~Obs~Siempre~use~la~gravedad(g)~negativo~con~la~referencial$

$Sean~las~f\acute{o}rmulas: \begin{cases}\boxed{X=X_0+V.t}~-----\ \textgreater \ (I) \\ \\\boxed{ V=V_o\pm g.t}~------\ \textgreater \ (II) \\ \\ \boxed{Y=Y_0+V_0.t \pm~ \frac{1}{2}.g.t\²}--\ \textgreater \ (III) \end{cases} \\ \\ Usaremos~la~(I)~para~calcular~la~horizontal~vea: \\ Datos: \\ X=m \\ X_0=0 \\ V_x=53cos \theta \\ 2t=? \\ Reemplazemos~los~datos~en~la~f\acute{o}rmula~(I)$

$m=0+53cos\theta.2t \\ \\ \boxed{m=t.(106cos\theta)}~-----\ \textgreater \ (1) \\ \\ \mathbb{tttttttttttttttttttttttttttttttttttttt} \\ Ahora~necesitamos~calcular~el~tiempo~en~altura~m\acute{a}xima, para~lo \\ cual~usaremos~la~f\acute{o}rmula~(II)~veamos: \\ Datos: \\ V=0 \\ V_oy=53sen\theta \\ g=9,8m/s\² \\ t=? \\ Reemplazando~datos \\ 0=53sen\theta-9,8t$


$-53sen\theta=-9,8t~~--\ \textgreater \ despejando~(t)~tenemos \\ \\ t= \frac{-53sen\theta}{-9,8} \\ \\ t=5,408163....sen\theta~~~---\ \textgreater \ aproximando~seria \\ \\ \boxed{t=5,41sen\theta }~------\ \textgreater \ (2) \\ \\ \mathbb{tttttttttttttttttttttttttttttttttttttt} \\ Ya~que~sabemos~el~tiempo~(t)~y~la~''m'', para~calcular~el~ \acute{a}ngulo (\theta) \\ Usaremos~la~f\acute{o}rmula~(III)~vea:$

$Datos \\ t=5,41sen\theta \\ V_0y=53sen\theta \\ g=9,8m/s\² \\ Y=m \\ Y_0=0 \\ \\ Reemplzando~datos~en~la~f\acute{o}rmula~(III)~tenemos: \\ \\ m=0+53sen\theta.(5,41sen\theta)+ \frac{1}{2}.(-9,8).(5,41sen\theta)\² \\ \\ m=286,73sen\²\theta-143,41sen\²\theta \\ \\ \boxed{m=143,32sen\²\theta }~~~------\ \textgreater \ (3) \\ \\ \mathbb{ttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt}$

$Reemplazemos~(1)~en~(3) \\ \\ t.(106cos\theta)=143,32sen\²\theta~~---\ \textgreater \ como~sabemos~[t=5,41sen\theta] \\ \\ 5,41sen\theta.(106cos\theta)=143,32sen\²\theta~~~---\ \textgreater \ resolviendo \\ \\ 573,46.cos\theta=143,32sen\theta \\ \\ \frac{573,46}{143,32}= \frac{sen\theta}{cos\theta} \\ \\ 4,0013=tg\theta \\ \\ \theta=arctg(4,0013)$

$\theta=75,968136......~~~~---\ \textgreater \ aproximando~seria \\ \\ \boxed{\boxed{\theta=75,97\°} }~---\ \textgreater \ el~\acute{a}ngulo~de~proyecci\acute{o}n \\ \\ \mathbb{wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Espero~te~sirva~saludos!!$