Respuestas
Respuesta:
Derivadas parciales
Para determinar la velocidad o el ritmo de cambio de una funci´on de
varias variables respecto a una de sus variables independientes se utiliza el
proceso de derivaci´on parcial.
Definicion´ 1.1 (Derivadas parciales de una funcion de dos vari- ´
ables). Si z = f(x, y) las primeras derivadas parciales de f con respecto a
las variables x e y son las funciones definidas como
∂z
∂x =
∂f
∂x(x, y) = fx(x, y) := l´ım
h→0
f(x + h, y) − f(x, y)
h
,
∂z
∂y =
∂f
∂y (x, y) = fy(x, y) := l´ım
h→0
f(x, y + h) − f(x, y)
h
,
siempre y cuando el l´ımite exista.
Observacion´ 1.1. La definici´on indica que para calcular ∂f
∂x se considera
y constante derivando con respecto a x y para calcular ∂f
∂y se considera x
constante derivando con respecto a y. Pueden aplicarse por tanto las reglas
usuales de derivaci´on.
Ejemplo 1.1. 1. Calcular las derivadas parciales de f(x, y) = yx2 +
3x
3
y
4
.
2. Dada f(x, y) = xe
x
2y hallar fx, fy y evaluarlas en (1, ln(2)).
Interpretaci´on geom´etrica de las derivadas parciales
Si y = y0 entonces z = f(x, y0) representa la curva intersecci´on de la
superficie z = f(x, y) con el plano y = y0. Por tanto
fx(x0, y0) = pendiente de la curva intersecci´on en (x0, y0, f(x0, y0)).
An´alogamente, f(x0, y) es la curva intersecci´on de
z = f(x, y) (superficie)
x = x0 (plano)
y entonces
fy(x0, y0) = pendiente de la curva intersecci´on en (x0, y0, f(x0, y0)).
Diremos que los valores ∂f
∂x(x0, y0), ∂f
∂y (x0, y0) denotan las pendientes de
la superficie en las direcciones de x e y, respectivamente.
Ejemplo 1.2. Hallar las pendientes en las direcciones de x e y de la superficie
dada por f(x, y) = 1 − x
2
y + xy3
en el punto (1,2,7).
Las derivadas parciales tambi´en se pueden interpretar como tasas, velocidades o ritmos de cambio.