Respuestas
Respuesta:¿(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3?
(a)(a2 – ab + b2) + (b)(a2 – ab +b2)
Aplica la propiedad distributiva.
(a3 – a2b + ab2) + (b)(a2 - ab + b2)
Multiplica por a.
(a3 – a2b + ab2) + (a2b – ab2 + b3)
Multiplica por b.
a3 – a2b + a2b + ab2 – ab2 + b3
Reorganiza los términos para combinar los términos semejantes.
a3 + b3
Simplifica
¿Viste eso? Cuatro de los términos se cancelaron, dejándonos con el (aparente) binomio simple a3 + b3. Entonces, los factores son correctos.
Puedes usar este patrón para factorizar binomios de la forma a3 + b3, también conocidos como “la suma de cubos.”
La Suma de Cubos
Un binomio de la forma a3 + b3 puede factorizarse como (a + b)(a2 – ab + b2).
Ejemplo:
La forma factorizada de x3 + 64 es (x + 4)(x2 – 4x + 16).
La forma factorizada de 8x3 + y3 es (2x + y)(4x2 – 2xy + y2).
Ejemplo
Problema
Factorizar x3 + 8y3.
x3 + 8y3
Identifica que este binomio sea una suma de cubos: a3 + b3.
a = x, y b = 2y (como 2y • 2y • 2y = 8y3).
(x + 2y)(x2 – x(2y) + (2y)2)
Factoriza el binomio como
(a + b)(a2 – ab + b2), restando a = x y b = 2y en la expresión.
(x + 2y)(x2 – x(2y) + 4y2)
Eleva al cuadrado (2y)2 = 4y2.
Respuesta
(x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2)
Multiplica −x(2y) = −2xy (escribiendo primero el coeficiente).
Y es todo. ¡El binomio x3 + 8y3 puede factorizarse como (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2)! Intentemos con otro.
Debes buscar un factor común antes de seguir cualquiera de los patrones de factorización.
Ejemplo
Problema
Factorizar 16m3 + 54n3.
16m3 + 54n3
Saca el factor común 2.
2(8m3 + 27n3)
8m3 y 27n3 son cubos, entonces puedes factorizar 8m3 + 27n3 como la suma de dos cubos: a = 2m, y b = 3n.
2(2m + 3n)[(2m)2 – (2m)(3n) + (3n)2]
Factoriza el binomio 8m3 + 27n3 sustituyendo a = 2m y b = 3n en la expresión (a + b)(a2 – ab + b2).
2(2m + 3n)[4m2 – (2m)(3n) + 9n2]
Eleva al cuadrado: (2m)2 = 4m2 y (3n)2 = 9n2.
Respuesta
2(2m + 3n)(4m2 – 6mn + 9n2)
Multiplica −(2m)(3n) = −6mn.
Factorizar 125x3 + 64.
A) (5x + 64)(25x2 – 125x + 16)
B) (5x + 4)(25x2 – 20x + 16)
C) (x + 4)(x2 – 2x + 16)
D) (5x + 4)(25x2 + 20x – 64)
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Resta de Cubos
Ahora que sabemos cómo factorizar binomios de la forma a3 + b3, no debe sorprendernos que binomios de la forma a3 – b3pueden factorizarse de manera similar.
La Resta de Cubos
Un binomio de la forma a3 – b3 puede factorizarse como (a – b)(a2 + ab + b2).
Ejemplos:
La forma factorizada de x3 – 64 es (x – 4)(x2 + 4x + 16).
La forma factorizada de 27x3 – 8y3 es (3x – 2y)(9x2 + 6xy + 4y2).
Observa que la construcción básica de la factorización es la misma que la de la suma de cubos; la diferencie está en los signos + y –. Tómate un momento para comparar la forma factorizada de a3 + b3 con la forma factorizada de a3 – b3.
Forma factorizada de a3 + b3:
(a + b)(a2 – ab + b2)
Forma factorizada de a3 – b3:
(a – b)(a2 + ab + b2)
Esto puede ser difícil de recordar por los signos diferentes — ¡la forma factorizada de a3 + b3 contiene un negativo, y la forma factorizada de a3 – b3 contiene un positivo! Algunas personas recuerdan las formas diferentes así:
“Recuerda una secuencia de variables: a3 b3 = (a b)(a2 ab b2). Faltan 4 signos, Cualquiera que sea el primer signo, también es el segundo signo. El tercer signo es el opuesto, y el cuarto signo siempre es +.”
Inténtalo tú. Si el primer signo es +, como en a3 + b3, de acuerdo con esta estrategia ¿cómo completas el resto: (a b)(a2 ab b2)? ¿Te sirve este método para recordar la forma factorizada de a3 + b3 y a3 – b3?
Sigamos y hagamos un par de ejemplos. Recuerda sacar primero el factor común.
Ejemplo
Problema
Factorizar 8x3 – 1,000.
8(x3 – 125)
Saca el factor 8.
8(x3 – 125)
Identifica que el binomio tiene la forma a3 - b3: a = x, y b = 5 (ya que53 = 125).
8(x - 5)[x2 + (x)(5) + 52]
Factoriza x3 – 125 como (a – b)(a2 + ab + b2), sustituyendo a = x y b = 5 en la expresión.
8(x – 5)(x2 + 5x + 25)
Eleva al cuadrado el primer y el último término, y reescribe (x)(5) como 5x.
Respuesta
8(x – 5)(x2 + 5x + 25)
Veamos lo que pasa si no sacas el factor común primero. En este ejemplo, se puede factorizar la resta de dos cubos. Sin embargo, la forma factorizada sigue teniendo factores comunes, que deben sacarse.
Ejemplo
Problema
Factorizar 8x3 – 1,000.
8x3 – 1,000
Identifica que este binomio tiene la forma a3 - b3: a = 2x, y b = 10 (ya que 103
Explicación paso a paso: