Question

Dada la siguiente expresión, escribir a y como función explícita de x, es decir y=f(x). Luego, calcular la función inversa f^(-1) (Indicando la restricción del dominio si es necesario). x^2+5y- 9x+3=0

Answer 1

La función explicita de y como función de x es : f(x) =  ( -x² +9x -3 )/5  

La función inversa f(x)^(-1)  es : f(x)⁻¹  =  ( 9 +- √(69-20x))/2 ; para todo x ≤69/20 .

x² + 5y -9x + 3 =0      y como función explicita de x : y= f(x)

 5y= -x²+9x -3

   y= ( -x² +9x -3 )/5

  y= f(x) =  ( -x² +9x -3 )/5

   Calculo de la función inversa f(x)^(-1) :

          y= ( -x² +9x -3 )/5

   Ahora de despeja x en función de y :

        x² -9x +( 5y +3  ) =0

  Aplicando la fórmula de la resolvente :

        x = -b +- √( b²-4*a*c) /(2*a )      siendo : a= 1   ; b = -9  ; c = 5y+3

       x = ( 9 +- √( 81-4*1*(5y+3) )/(2*1 )

       x =   ( 9 +- √(69-20y))/2

    Ahora se cambia la x por y y la y por x :

        y =  ( 9 +- √(69-20x))/2

       f(x)⁻¹  =  ( 9 +- √(69-20x))/2     Función inversa

        69-20x ≥ 0

              -20x ≥ -69    *(-1)

                 x ≤69/20

 

     Para toda   x ≤69/20 .