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8. página 118 ECUACIONES SIMULTÁNEAS CON: DOS INCÓGNITAS IGUALACIÓN Este método consiste en igualar, de allí su nombre, el valor de la incógnita x obtenido al despe-jarla de ambas ecuaciones, ya que se trata de la misma x; o bien, igualar el valor de la incógnita y obtenido al despejarla de ambas ecuaciones, ya que se trata de la misma y . Al igualar estos valores se consigue tener una ecuación con una sola incógnita y por la 2ª ley de las ecuaciones, página 79, ya se puede resolver, simplemente despejando esa incógnita. Una vez obtenido el valor de la primera incógnita, se sustituye ésta en cualquiera de las dos originales y se despeja la segunda incógnita, aunque resulta más práctico hacer la sustitución en cualquiera de las dos despejadas. Ejemplo 1: 3x + 4y = - 2 (1) x - 2y = - 4 (2) Solución: Despejando la x de la primera ecuación: 3x = - 2 - 4y (3) x y − − 2 4 3 = Despejando la x de la segunda ecuación: x = - 4 + 2y (4) Obsérvese que los lados derechos de las nuevas ecuaciones (3) y (4) son iguales entre sí, ya que ambos son iguales a la misma x , por lo tanto se pueden igualar. Haciéndolo: y y − − 2 4 = − 4 + 2 3 multiplicando por 3 toda la igualdad anterior, aplicando la propiedad de las igualdades "lo que se haga de un lado debe hacerse del otro también para que la igualdad se conserve", se obtiene: - 2 - 4y = 3(- 4 + 2y) - 2 - 4y = - 12 + 6y - 4y - 6y = - 12 + 2 - 10y = - 10 10 10 y − = − y =1
9. INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 119 Este valor se puede sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones originales, aunque resulta más práctico hacerlo en la (3) o en la (4) , ya que en éstas ya está despejada la x; haciéndolo entonces en la (4) : x = - 4 + 2y (4) x = - 4 + 2(1) x = - 4 + 2 x = − 2 Ejemplo 2: 4x + 3y = 17 (1) 3x + 2y = 11 (2) Solución: Despejando la y de la primera ecuación: 3y = 17 - 4x (3) y x − 17 4 3 = Despejando la y de la segunda ecuación: 2y = 11 - 3x (4) y x 11 − 3 2 = Obsérvese que los lados derechos de las nuevas ecuaciones (3) y (4) son iguales entre sí, ya que ambos son iguales a la misma y , por lo tanto se pueden. Haciéndolo: − x − x 17 4 = 11 3 3 2 multiplicando por 3 y por 2 toda la igualdad anterior, aplicando la propiedad de las igualdades "lo que se haga de un lado debe hacerse del otro también para que la igualdad se conserve", se obtiene: 2(17 - 4x) = 3(11 - 3x) 34 - 8x = 33 - 9x - 8x + 9x = 33 - 34 x = −1 Este valor se puede sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones originales, aunque resulta más práctico hacerlo en la (3) o en la (4) , ya que en éstas ya está despejada la x; haciéndolo entonces en la (4):
10. página 120 ECUACIONES SIMULTÁNEAS CON: DOS INCÓGNITAS (4) y x 11 − 3 2 = 11 3( 1) 11 3 2 2 y − − + = = 14 2 y = y = 7 EJERCICIO 25 Resolver las siguientes ecuaciones simultáneas por igualación o con la calculadora: 1) x + 3y = 11 2) 6x + 4y = 6 3) 2x + y = 11 5x - y = - 9 5x - 2y = 3 8x - y = - 6 4) 4x - 3y = 5 5) 5x - 2y = 5 6) 4x - 3y = 7 8x + y = - 4 10x + 9y = 2 4x + 3y = - 1 7) x - y = 5 8) x = y 9) 3x - 7y = 0 2x + y = 1 5x + y = - 18 8x + 9y = 0 10) 7x + 2y = 4 11) 9x - 2y = - 2 12) 14x - 5y = 0 7x - 2y = 2 18x + 4y = 24 7x + y = 7 13) 8x + y = - 2 14) x + 2y = 2 15) x - y = 1 11x + y = 1 2x - y = 2 2x + 6y = 8
11. INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 121 SUSTITUCIÓN Este método consiste en sustituir en una cualquiera de las dos ecuaciones, de allí su nombre, el valor de la incógnita x obtenido al despejarla de la otra ecuación, con lo que se logra obtener una sola ecuación con una sola incógnita, la cual ya se puede resolver conforme a la 2ª ley de las ecuacio-nes simplemente despejando esa incógnita. O bien, haciendo el mismo proceso, pero con la y . Una vez obtenido el valor de la primera incógnita, se sustituye ésta en cualquiera de las dos originales y se despeja la segunda incógnita, aunque resulta más práctico hacer esta sustitución en la incógnita despejada. Ejemplo 1: 3x + 4y = - 2 (1) x - 2y = - 4 (2) Solución: Despejando la x de la primera ecuación: 3x = - 2 - 4y (3) x y − − 2 4 3 = sustituyendo este valor obtenido para x en la otra ecuación, es decir en (2): y y 2 4 2 4 3 − − − = − Hay que multiplicar toda la igualdad por el denominador 3 para que éste se elimine. Obsérvese que "no pasa" a multiplicar al otro lado: y y ⎛ − − ⎞ ⎜ − ⎟ = − ⎝ ⎠ ( ) 3 2 4 2 3 4 3 y y ⎛ − − ⎞ ⎜ ⎟ − = − ⎝ ⎠ 3 2 4 3(2 ) 3( 4) 3 - 2 - 4y - 6y = - 12 - 4y - 6y = - 12 + 2 - 10y = - 10 10 10 y − = − y =1