cual es el menor número que multiplicado por si mismo tenga 75 divisores
Respuestas
Respuesta:
NÚMERO PRIMO ABSOLUTO
Es aquel número entero positivo, mayor que 1, que se divide sin resto sólo por
la unidad y por sí mismo.
Ejemplos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, ...
NÚMERO COMPUESTO
Es aquel número entero positivo que admite divisores distintos de la unidad y
de sí mismo.
Ejemplo:
Divisores
4 1, 2, 4
10 1, 2, 5, 10
Observación
La unidad es el único número entero positivo que no es primo ni compuesto,
pues tiene 1 solo divisor.
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ (PESI)
Son aquellos que admiten como único divisor común a la unidad.
Ejemplo:
Divisores
6 1, 2, 3, 6
15 1, 3, 5, 15
20 1, 2, 4, 5, 10, 20
* 6. 15 y 20 son números PESI, ya que su único divisor común es la unidad.
* 6 y 20 no son PESI, ya que tienen dos divisores comunes, la unidad y el dos.
* 15 y 20 no son PESI.
UNIDAD 15
Números Primos y Compuestos
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138 U N F V – C E P R E V I
ARITMÉTICA
DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA
Es la representación de un número mediante el producto indicado de potencias
de exponente entero positivo, de los divisores primos del número.
La descomposición canónica de un número es única.
Ejemplo:
540 2
270 2
135 3
45 3
15 3
5 5
1
En general, todo número compuesto «N» se puede expresar:
N = An
. Bm . Cp
...
Donde:
A, B, C, ... son números primos absolutos y diferentes.
m, n, p, ... son números enteros positivos.
PRINCIPALES FÓMULAS
Dado el número «N» descompuesto canónicamente:
N = An
. Bm . Cp
............ M k
Cantidad de divisores (C.D.)
C.D.N = (n+1) (m+1) (p+1) ............. (K+1)
Ejemplo: 180 = 22
. 32
. 5
C.D.180 = (2+1) (2+1) (1+1) = 18 divisores
Suma de divisores (S.D.)
S.D.N = 1-M
1-M .......... 1-C
1-C. 1-B
1-B. 1-A
1-A + +1m1n +1p +1k
Ejemplo: 180 = 22
. 32
. 5
S.D.180 = 546
1-5
1-5. 1-3
1-3. 1-2
1-23 23
=
540 = 22
x 33
x 5
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ARITMÉTICA
U N F V – C E P R E V I 139
NOTA:
Total Divisores Total Divisores Total Divisores Unidad
de un Número Primos Compuestos
PROBLEMAS RESUELTOS
1. ¿Cuántos divisores tiene el número: N = 124
. 153
?
Descomponiendo canónicamente el número:
N = (22
. 3)4
. (3 . 5)3
= 28
. 34
. 33
. 53
= 843
Descomposición Canónica
2 .3 .5
Luego, la cantidad de divisores de N será:
CD(N) = (8 + 1) (7 + 1) (3 + 1)
∴ D(N) = 288
2. ¿Cuántos divisores primos tiene: N = 1 965 600
Descomprimiendo canónicamente:
1 965 600 = 25
. 33
. 52
.71
. 131
Entonces los divisores primos serán: 2; 3; 5; 7 y 13
∴ CD (Primos) = 5
3. Determinar la cantidad de divisores compuestos de: N = 243
. 212
Todo número entero positivo tiene como divisor a la unidad, tiene divisores
primos y también divisores compuestos, luego:
D(N) = 1 + D (Primos) + (Compuestos) ....... (I)
Descomponiendo canónicamente:
N = (23
. 3)3
. (3 . 7)2
= 29
. 33
. 32
. 72
= 29
. 35 . 72
Explicación: