Question

Buenas noches

Por favor su colaboración con este ejercicio. La solución general en series de potencias de la ecuación diferencial y´´(x)+8xy^' (x)-4y(x)=0 es:

Answer 1

Sabemos que la solución de la ecuación diferencial va a tener la forma:

Yp = ∑Cn Xⁿ

Siendo:

Y =  ∑Cn Xⁿ

Y' = ∑n Cn Xⁿ⁻¹

Y'' =  ∑n(n-1) Cn Xⁿ⁻²

Entonces:

∑n(n-1) Cn Xⁿ⁻² + 8x( ∑n Cn Xⁿ⁻¹) -4( ∑Cn Xⁿ )=0

entonces:

∑n(n-1) Cn Xⁿ⁻² +8( ∑n Cn Xⁿ)-4( ∑Cn Xⁿ ) =0

∑n(n-1) Cn Xⁿ⁻² +  ∑Cn Xⁿ(8n-4)=0

Estimando los primeros 4 términos:

(0+2C2+6C3X+12C4X²+20C5X³)+ (Co + 4 C1 X+12C2X²+20C3X³+28C4X⁴+36C5X⁵)=0

entonces:

2C2=Co ---> C2= 1/2Co

6C3= 4C1

C2=C4 = 1/2 Co

C3=C5 = 2/3 C1

De forma tal que podemos establecer:

Cn = Co /n!

Y = ∑Co/n! Xⁿ