Question

Longitud de arco: La longitud de un arco de la curva y = sin x est´a dada por:
L =
Z π
0
p
1 + cos2 xdx.
Aproxime L con la regla de Simpson 1/3 y n = 8.

Answer 1

La longitud de la curva es $\frac{3}{2}\pi$

Explicación paso a paso:

La longitud del arco de la curva está dada por:

$L=\int\limits^\pi_0 {1+cos^2(x)} \, dx$

Para aplicar la regla de Simpson 1/3 dividimos al intervalo [0,π] en 8 intervalos iguales. Los intervalos son:

$x_0=0\\x_1=\frac{\pi}{8}\\x_2=\frac{\pi}{4}\\x_3=\frac{3\pi}{8}\\x_4=\frac{\pi}{2}\\x_5=\frac{5\pi}{8}\\x_6=\frac{3\pi}{4}\\x_7=\frac{7\pi}{8}\\x_8=\pi$

Y calculamos la integral aproximada para cada intervalo aplicando con cada valor esta expresión (con j=1,2,3...n-1):

$a_j=\frac{x_{j+1}-x_{j-1}}{6}[f(x_{j-1})+4f(x_j)+f(x_{j+1})]$

Realizando la suma de todos los intervalos queda la siguiente expresión:

$L=\frac{h}{3}[f(x_0)+f(x_8)+4\sum_{k=0}^{n/2-1}f(x_{2k+1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})]$

Donde h es la longitud de cada subintervalo, en este caso es $\frac{\pi}{8}$, podemos hallar la función en los extremos:

$f(x_0)=1+cos^2(x_0)=1+cos^2(0)=2\\f(x_8)=1+cos^2(x_8)=1+cos^2(\pi)=2$

Y además las sumatorias dan:

$\sum_{k=0}^{n/2-1}f(x_{2k+1})=(1+cos^2(x_1))+(1+cos^2(x_3))+(1+cos^2(x_5))+(1+cos^2(x_7))\\\\\sum_{k=0}^{n/2-1}f(x_{2k+1})=4+cos^2(\frac{\pi}{8})+cos^2(\frac{3\pi}{8})+cos^2(\frac{5\pi}{8})+cos^2(\frac{7\pi}{8})\\\\\sum_{k=0}^{n/2-1}f(x_{2k+1})=4+0,8536+0,1464+0,1464+0,8536\\\\\sum_{k=0}^{n/2-1}f(x_{2k+1})=6$

$\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})=1+cos^2(x_2)+1+cos^2(x_4)+1+cos^2(x_6)\\\\\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})=3+cos^2(\frac{\pi}{4})+cos^2(\frac{\pi}{2})+cos^2(\frac{4\pi}{3})\\\\\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})=3+\frac{1}{2}+0+\frac{1}{2}\\\\\\\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})=4$

Con lo que la integral queda:

$L=\frac{\pi/8}{3}[2+2+4.6+2.4]\\\\L=12\frac{\pi}{8}=\frac{3\pi}{2}$