Question

DIBUJAMOS 10 PUNTOS EN EL PLANO Y TODAS LAS LINEAS QUE CONECTAN A DOS O MAS PUNTOS. CINCO DE LOS PUNTOS ESTAN SOBRE UNA MISMA LINEA Y NINGUNA OTRA LINEA CONECTA A MAS DE DOS PUNTOS. ¿CUÁNTOS TRIÁNGULOS HAY DE MODO QUE LOS VERTICES DE LOS TRIÁNGULOS SEAN LOS PUNTOS CON LOS QUE INICIAMOS?

Answer 1

¡Hola! 

Hago el siguiente gráfico para mejorar la comprensión:

∴ Los símbolos Ф representan los puntos en el plano



          Ф s1     Ф s2
                                              Ф s3
  
Ф m2              Ф m2               Ф m3               Ф m4               Ф m5


          Ф s4               Ф s5


                                                   Explicación 
                              

Hay cinco puntos de línea que pertenecen a la misma línea y llamaremos a esos puntos m1, m2, m3, m4 y m5. Hay, además, cinco puntos externos en los que si pasa por ellos una línea, esa línea sólo los conectará con un punto más (esos puntos los llamaremos s1, s2, s3, s4 y s5). 

Podemos formar tres triángulos según el planteamiento: 

∴ Triángulos con 2 vértices de línea, y 1 vértice externo. 

Seleccionamos los 2 vértices de línea de los 5 totales: C(5,2). 
Seleccionamos el vértice externo: C(5,1). 

La cantidad de triángulos de este tipo será: 

C(5,2) * C(5,1) = [5! / (2! * 3!)] * 5  = 50 

A continuación realizaremos la misma operación para hallar la cantidad de triángulos restantes:

∴ Triángulos con 2 vértices externos y 1 de línea (C(5,2) * C(5,1)) = 50


∴Triángulos con 3 vértices externos: los triángulos se crean eligiendo 3 vértices externos ⇒ C(5,3) = 5! / (3! * 2!) = 10 


∴ Por último, la cantidad de triángulos es: 50 + 50 + 10 = 110