DIBUJAMOS 10 PUNTOS EN EL PLANO Y TODAS LAS LINEAS QUE CONECTAN A DOS O MAS PUNTOS. CINCO DE LOS PUNTOS ESTAN SOBRE UNA MISMA LINEA Y NINGUNA OTRA LINEA CONECTA A MAS DE DOS PUNTOS. ¿CUÁNTOS TRIÁNGULOS HAY DE MODO QUE LOS VERTICES DE LOS TRIÁNGULOS SEAN LOS PUNTOS CON LOS QUE INICIAMOS?
Respuestas
Respuesta dada por:
4
¡Hola!
Hago el siguiente gráfico para mejorar la comprensión:
∴ Los símbolos Ф representan los puntos en el plano
Ф s1 Ф s2
Ф s3
Ф m2 Ф m2 Ф m3 Ф m4 Ф m5
Ф s4 Ф s5
Explicación
Hay cinco puntos de línea que pertenecen a la misma línea y llamaremos a esos puntos m1, m2, m3, m4 y m5. Hay, además, cinco puntos externos en los que si pasa por ellos una línea, esa línea sólo los conectará con un punto más (esos puntos los llamaremos s1, s2, s3, s4 y s5).
Podemos formar tres triángulos según el planteamiento:
∴ Triángulos con 2 vértices de línea, y 1 vértice externo.
Seleccionamos los 2 vértices de línea de los 5 totales: C(5,2).
Seleccionamos el vértice externo: C(5,1).
La cantidad de triángulos de este tipo será:
C(5,2) * C(5,1) = [5! / (2! * 3!)] * 5 = 50
A continuación realizaremos la misma operación para hallar la cantidad de triángulos restantes:
∴ Triángulos con 2 vértices externos y 1 de línea (C(5,2) * C(5,1)) = 50
∴Triángulos con 3 vértices externos: los triángulos se crean eligiendo 3 vértices externos ⇒ C(5,3) = 5! / (3! * 2!) = 10
∴ Por último, la cantidad de triángulos es: 50 + 50 + 10 = 110
Hago el siguiente gráfico para mejorar la comprensión:
∴ Los símbolos Ф representan los puntos en el plano
Ф s1 Ф s2
Ф s3
Ф m2 Ф m2 Ф m3 Ф m4 Ф m5
Ф s4 Ф s5
Explicación
Hay cinco puntos de línea que pertenecen a la misma línea y llamaremos a esos puntos m1, m2, m3, m4 y m5. Hay, además, cinco puntos externos en los que si pasa por ellos una línea, esa línea sólo los conectará con un punto más (esos puntos los llamaremos s1, s2, s3, s4 y s5).
Podemos formar tres triángulos según el planteamiento:
∴ Triángulos con 2 vértices de línea, y 1 vértice externo.
Seleccionamos los 2 vértices de línea de los 5 totales: C(5,2).
Seleccionamos el vértice externo: C(5,1).
La cantidad de triángulos de este tipo será:
C(5,2) * C(5,1) = [5! / (2! * 3!)] * 5 = 50
A continuación realizaremos la misma operación para hallar la cantidad de triángulos restantes:
∴ Triángulos con 2 vértices externos y 1 de línea (C(5,2) * C(5,1)) = 50
∴Triángulos con 3 vértices externos: los triángulos se crean eligiendo 3 vértices externos ⇒ C(5,3) = 5! / (3! * 2!) = 10
∴ Por último, la cantidad de triángulos es: 50 + 50 + 10 = 110
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