A un número de tres cifras se le resta el número que resulta de invertir el orden de sus cifras,obteniéndose un número que tiene 24 divisores.Calcular la suma de las cifras de dicho número, si es el mayor posible. XFAAAAAAAAA
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Respuesta:
19
Explicación paso a paso:
Sea el número de tres cifras "abc". Su valor es igual a:
100a + 10b + c
Si le restamos "cba" tendremos:
100a + 10b + c - (100c + 10b + a) = 99a - 99c = 99(a - c)
(a - c) debe ser un número de una sola cifra.
99(a - c) = 3²·11·(a - c)
Si (a - c) fuera 0, entonces 99(a - c) no tendría divisores.
Si (a - c) fuera 1, entonces tendría (2 + 1)(1 + 1) = 6 divisores
Si (a - c) fuera un número primo diferente de 3, entonces tendría (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 12 divisores.
Si (a - c) fuera el 3, entonces tendría (3 + 1)(1 + 1) = 8 divisores
Ya vamos descartando entonces 0, 1, 2, 3, 5 y 7. Nos quedan 4, 6, 8 y 9.
Si (a - c) fuera 4, entonces tendría (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 18 divisores
Si (a - c) fuera 6, entonces tendría (1 + 1)(3 + 1)(1 + 1) = 16 divisores
Si (a - c) fuera 8, entonces tendría (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 divisores
Si (a - c) fuera 9, entonces tendría (4 + 1)(1 + 1) = 10 divisores
Por tanto sabemos que
a - c = 8
Para que "abc" sea el mayor posible, entonces el número es:
991
La suma de sus cifras es 19
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Comprobación:
991 - 199 = 792
= 99 x 8
=> 2³·3²·11
Número de divisores: (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24