Question

De todos los rectángulos que tienen un perímetro de 12 metros. De ellos ¿cuáles son las medidas del rectángulo
que tiene mayor área? solo tengo el valor del perimetro como averiguo el area.

Answer 1

Se trata de un problema de máximos y mínimos.

El perímetro de un rectángulo es la suma de todos los lados.
Por tanto, sea:
x= largo del rectángulo.
y=ancho del rectángulo.
La condición que nos dice el problema es:
2x+2y=12
Simplificamos dividiendo cada término entre "2".
x+y=6     ⇒y=6-x

El área (A) de un rectángulo es largo x ancho.
Por tanto la función que nos va a dar el área en función de "x" y de "y" es:
A(x,y)=x.y
Tenemos ahora que obtener la función área en función de una sóla variable, como sabemos que y=6-x, sustituimos en la función área (A(x,y) la "y" por "6-x". y tenemos_
A(x)=x.(6-x)
A(x)=6x-x².

Ahora que ya conocemos la función "A(x)=6x-x²", procedemos con la siguiente rutina.

1) calculamos la primera derivada.
A`(x)=6-2x
2) la igualamos a "0" y obtenemos valores de "x".
6-2x=0
-2x=-6
x=-6/-2=3

3) Realizamos la 2º derivada para averiguar si el valor obtenido es un máximo o un mínimo.
A´´(x)=-2<0 Se trata por tanto de un máximo.  (como el valor obtenido es menor a "0" en x=3, existe un máximo).

4) Obtenemos el valor de "y".
y=6-x
y=6-3=3.

Sol: el largo medirá 3 cm y el ancho medirá 3 cm, se trata por tanto de un cuadrado (recuerda que los cuadrados también son rectángulos). Y su área serán 9 m².