Question

5.- Determine el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por la semicircunferencia definida por la ecuación $x^{2} + y^{2} -4x-6y+12=0$, alrededor de la recta y=3

Answer 1

Hola :) ,

Hay que armar los binomios al cubo para hallar el centro :

$x^{2} - 4x + 4 + y^{2} - 6y + 8 + 1 = 1$

Reescribí el 12 en una suma de 4+8 , luego sume un uno en toda la ecuación para armar el binomio de y , al final queda :

$(x-2)^{2} + (y-3)^{2} = 1$

Lo que significa que es una circunferencia con el centro desplazado, su centro está en (2,3) y es de radio 1, entonces , la recta y=3 , atraviesa el centro de la circunferencia , si rotamos la circunferencia en torno a esa recta , vamos a obtener una esfera de radio 1,sabemos que la esfera tiene un volumen de :

$V_{esfera} = \frac{4 \pi r^{3}}{3} \\ \\ V_{esfera} = \frac{4 \pi 1^{3}}{3} \\ \\ \boxed{V_{esfera} = \frac{4 \pi}{3} }$

Saludos linda :)