Colaborando para mejorar mi comunidad Un grupo de estudiantes presenta a las autoridades del distrito un proyecto orientado a la construcción en la plaza de armas de una laguna artificial en forma circular con un radio de 5 m y sobre ella un arco parabólico, en el cual se pondrá el nombre del distrito en su punto máximo. Las autoridades del distrito ordenan la ejecución de dicho proyecto, el mismo que estará ubicado exactamente 12 m al este y 18 m al sur de la municipalidad y el arco parabólico se ubicará entre los extremos sur y norte de la laguna artificial y tendrá una altura de 10 m. a. Calcula la ecuación general de la circunferencia. b. Calcula la ecuación general de la parábola.
Respuestas
Respuesta:
Explicación:
La ecuación general de la circunferencia es:
x² - 24x + y² + 36y + 443 = 0
y la ecuación general de la parábola es:
2x² + 5y - 50 = 0
Explicación paso a paso:
a. Calcula la ecuación general de la circunferencia.
Sabemos que el radio de la laguna es de 5 m y que el proyecto estará ubicado exactamente 12 m al este y 18 m al sur de la municipalidad, lo que viene siendo el centro de la circunferencia. Asi que:
(h, k) = (12, -18) son las coordenadas del centro de la circunferencia.
r = 5 es el radio.
Vamos a construir la ecuación canónica de la circunferencia:
(x - h)² + (y - k)² = r²
(x – 12)² + (y – (-18))² = (5)² ⇒ (x - 12)² + (y + 18)² = 25
Ahora se desarrollan los productos notables y se iguala a cero, para expresarla como ecuación general de la circunferencia:
(x)² - 2(x)(12) + (12)² + (y)² + 2(y)(18) + (18)² = 25 ⇒
x² - 24x + 144 + y² + 36y + 324 - 25 = 0 ⇒
x² - 24x + y² + 36y + 443 = 0
b. Calcula la ecuación general de la parábola.
Debemos aclarar que las figuras geométricas dadas no están en el mismo plano, la circunferencia está en el plano que nosotros llamamos piso, mientras la parábola está en un plano vertical perpendicular al piso. (ver figura anexa)
La parábola es un arco que toca a la circunferencia en los extremos de un diámetro norte sur; es decir, si ubicamos el centro de la circunferencia en el origen de coordenadas y el diámetro norte sur sobre el eje x, la parábola tendrá vértice en el punto (0, 10), ya que tiene 10 m de altura. Tocará la circunferencia en los puntos (-5, 0) y (5, 0), ya que el radio de la circunferencia es 5 m.
Aplicaremos la ecuación canónica:
Parábola de eje vertical: (x - h)² = ±4p(y - k)
donde
(h, k) = (0, 10) son las coordenadas del vértice.
p es la distancia, sobre el eje, desde el vértice al foco y a la directriz.
Dado que la parábola pasa por los puntos: (-5, 0) y (5, 0)
Parábola de eje vertical con: h = 0 k = 10 pasa por x = 5 y = 0
Ecuación: [5 - (0)]² = -4p[0 - (10)] ⇒ p = 5/8
La distancia del vértice al foco es p = 5/8 metros medidos sobre el eje de la parábola.
Entonces, la ecuación general de la parábola es:
En definitiva, ecuación general de la circunferencia es:
x² - 24x + y² + 36y + 443 = 0
y la ecuación general de la parábola es:
2x² + 5y - 50 = 0
Pregunta relacionada:
Parábola: brainly.lat/tarea/5687070
