Question

ACTIVIDADES:
Calcula el valor de los siguientes limites indeterminados:

AYUUUUUDAAAS​

Answer 1

Hola, como estas? Debajo te enumero para mas orden cada una de las respuestas

1)  $\lim _{x\to \:-4}\left(\frac{x+4}{\sqrt{x+4}}\right)$

aquí conviene racionalizar el denominador, multiplicando por el mismo de esta manera

$\lim _{x\to \:-4}\left(\frac{x+4}{\sqrt{x+4}}\right * \frac{\sqrt{x+4} }{\sqrt{x+4} })$

$\lim _{x\to -4}\left(\frac{\:x+4\cdot \sqrt{x+4}}{x+4\:}\right)$

$\lim _{x\to \:-4}\left(\sqrt{x+4}\right)$

y aquí si ya podemos evaluar el limite, reemplazando x por el valor al que tiende, y eso nos da como resultado $0$

2) $\lim _{x\to \:a}\left(\frac{\:\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}\right)$

en este caso nos conviene racionalizar el numerador, entonces hacemos

$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}:\quad \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}$

nos queda

$\lim _{x\to \:a}\left(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\right)$

y acá ya podemos reemplazar en x el valor al que tiende y nos queda $\frac{1}{2\sqrt{a}}$

3) $\lim _{x\to -1}\left(\frac{\:x+1}{\sqrt{6x^2+3}+3x}\right)$

acá es la misma técnica, intentas racionalizar el denominador, sacando la raíz, entonces esto quedaría así:

$\frac{x+1}{\sqrt{6x^2+3}+3x}:\quad -\frac{-3x+\sqrt{6x^2+3}}{3\left(x-1\right)}$

luego el limite queda de esta manera

$\lim _{x\to \:-1}\left(-\frac{-3x+\sqrt{6x^2+3}}{3\left(x-1\right)}\right)$

y acá ya podes reemplazar a x por el valor al que tiende, quedándote como resultado $1$

4) $\lim _{x\to 2}\left(\frac{\:\sqrt{x+2}-2}{x-2}\right)$

buscamos nuevamente como en el ejercicio 2 racionalizar el numerador y sacar la raiz de ahi, entonces hacemos lo siguiente:

$\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}:\quad \frac{1}{\sqrt{x+2}+2}$

logramos así sacar la raíz del numerador y el limite nos queda así:

$\lim _{x\to \:2}\left(\frac{1}{\sqrt{x+2}+2}\right)$

acá ya sustituimos el valor al que tiende x entonces nos queda como resultado $\frac{1}{4}$

5) $\lim _{x\to 0}\left(\frac{\:\sqrt{x^2+25}-5}{\sqrt{x^2+16}-4}\right)$

nuevamente buscamos racionalizar pero en este caso buscamos racionalizar numerador y denominador, nos quedaría algo así:

$\frac{\sqrt{x^2+25}-5}{\sqrt{x^2+16}-4}:\quad \frac{\left(\sqrt{x^2+25}-5\right)\left(\sqrt{x^2+16}+4\right)}{x^2}$

entonces el limite a resolver queda:

$\lim _{x\to \:0}\left(\frac{\left(\sqrt{x^2+25}-5\right)\left(\sqrt{x^2+16}+4\right)}{x^2}\right)$

y como aun seguimos teniendo problemas, multiplicamos por el conjugado, así:

$\:\sqrt{x^2+25}-5:\:\frac{x^2}{\sqrt{x^2+25}+5}$

entonces el limite queda

$\lim _{x\to \:0}\left(\frac{\frac{x^2}{\sqrt{x^2+25}+5}\left(\sqrt{x^2+16}+4\right)}{x^2}\right)$

y simplificamos, entonces tenemos

$\lim _{x\to \:0}\left(\frac{\sqrt{x^2+16}+4}{\sqrt{x^2+25}+5}\right)$

teniendo ya esta expresión, ahora si podemos evaluar el limite, lo que nos da un resultado de $\frac{4}{5}$

Espero te sirva, si algo no se entiende muy bien, comentame y lo arreglo por que son muchos pasos, éxitos!