Question

¿Cuántos divisores primos puede tener un número, si tiene 20 divisores?

Answer 1

Respuesta:

Los divisores de 20 son: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.

Los divisores de 40 son: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 y 40.

Los divisores de 60 son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60.

Los divisores de 100 son: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 y 100.

Explicación paso a paso:

espero te ayude

Answer 2

Respuesta:

Si la pregunta es la máxima cantidad de divisores primos que puede tener un número que tiene $20$ divisores, una posible respuesta es:

Explicación paso a paso:

$P$ denotara el conjunto de los números primos.

Pensando en divisores positivos.

Nota primero que si el número es primo entonces tiene únicamente $1$ divisor primo, a saber, él mismo.

Por tanto si el número $x$ tiene $20$ divisores no es primo y si su desarrollo en primos es

$x=p_1^{i_1}p_2^{i_2}\cdots p_k^{i_k}$   donde $p_i\in P$ y $i_k \in (\mathbb{N}\cup\{0\})$ para $i \in \{1,\cdots, k\}$ y cierto $k\in \{2, 3, \cdots \}$

La cantidad de divisores de $x$ es igual a $(i_1+1)(i_2+1)(i_3+1)\cdots(i_k+1)=20$

Y como $20=2^2\codt 5$  se debe tener que los $i_k \in \{0, 1, 3, 4, 9, 19\}$. Si algún $i_k$ es $0$ significa que el primo $p_k$ no aparece en el desarrollo de $x$. Lo que muestra que $k$ a lo sumo es igual a $3$, lo que se consigue por ejemplo tomando  $1, 1$ y $4$ como potencia de los tres primos que aparecen en el desarrollo de $x$ respectivamente. En conclusión la cantidad máxima de divisores primos que tiene $x$ es $3$.

Por ejemplo $x=2^4\cdot 3\cdot 5$ tiene $20$ divisores.